行列における固有値、固有ベクトルについて

少しばかり固有値、固有値ベクトルについて、分からないことがあったため質問します。
　
　添付画像に式を示します。

　この式を解くとλ＝１という固有値が出ます。しかし、λ＝１を行列式に代入すると全てが０になり固有値ベクトルを求めることができません。
　回答のページには、途中計算が省かれているため、過程がわかりません。こういった場合には、どう個体値ベクトルを求めれば良いのか、教えてもらえませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/15 21:24

ANo.1です．少し補足を．

この問題を行列の対角化ととらえるとそれはすでに解決しています．単位行列は対角行列ですから．

また，固有ベクトルが何かという問題もすでに解決しています．任意の正則行列Pについて

P^{-1}EP=P^{-1}P=E

ですから，固有ベクトルは任意の一次独立ベクトルの最大セットで，任意の正則行列のすべての列ベクトルセットをとればよいです．

x=(s,t)^Tとしたベクトルは任意の2次元ベクトルですが，これのs,tを2組とって一次独立ベクトルを2つ探してもよいです．
例えば(s,t)=(1,1),(1,-1)として

x_1=(1,1)
x_2=(1,-1)

としてもよいです．無数にあります．しかし，求めろと言われればやはりもっとも簡単なのは基本ベクトルの(1,0)^T,(0,1)^Tの２つだということです．

どれをとるかは質問者様の自由です．

ただ，基本ベクトルの考えは物理学（古典力学や量子力学など）のような応用分野では重要です．

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/15 19:07

単位行列 E の固有ベクトルを求めようというのですね。

Ex = λx を満たす x を求めればよい訳です。
(E-λE)x = 0 と書きなおしても同じこと。
「λ = 1 を代入すると全てが 0 になり」というのは、
E-λE が零行列になることを言っているのですね。
ならば、「全てが 0 になり」の結果、
固有ベクトルを求めることができないどころか、
任意のベクトルが固有値 1 に対する固有ベクトルである
ことが判るのです。
Ox = 0 は、全てのベクトル x について成り立ちます。

ここで覚えておくべきは、ひとつの固有値に対する
固有ベクトルが、ひとつの方向だけとは限らないこと。
ひとつの固有値に対する固有ベクトルは、空間全体の
部分ベクトル空間を成します。これを、その固有値に対する
「固有空間」と言います。固有空間が一次元であれば、
固有ベクトルの方向はひとつに決まりますが、
固有値が固有方程式の重根である場合は、その固有値に対する
固有空間は二次元以上になる場合もあります。

Ex = λx の場合も、
λ = 1 が E の固有方程式 det(E-λE) = 0 の重根であり、
固有値 1 に対する固有空間は二次元になっているのです。
二次元の任意のベクトルが、E の固有値 1 に対する固有ベクトルです。
(1,0) や (0,1) だけが特別な訳ではありません。

No.1 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/15 18:15

2次単位行列をEとします．

固有多項式は

det(λE-E)=det{(λ-1)E}=(λ-1)^2

固有値λ=1は重解です．

固有方程式Ex=λxを解けばよいです．これは結局x=x

0x=0

ですから，x=(s,t)^Tとすると

x=s(1,0)^T+t(0,1)^T

ですから，一次独立な固有ベクトルとして

x_1=(1,0)^T
x_2=(0,1)^T

をとればよいです．実際

Ex_1=1x_1 x_1≠0
Ex_1=1x_2 x_2≠0

となって確かに固有値１に属する2つの独立な固有ベクトルになっています．