2変数関数の極値の問題について 関数 f(x,y) = 2(x^2-y^2)-(x^2+y^2)^2

2変数関数の極値の問題について
関数 f(x,y) = 2(x^2-y^2)-(x^2+y^2)^2の極値を求めてください。
判別式でD =0になった時の判断がわからないのでそこの部分を詳しく教えてもらえるとありがたいです。

質問者からの補足コメント

• 狭義極大点と広義極大点の違いがよくわかりません。
  極大値となるのは狭義極大点の時だけという考え方であっていますか？

    補足日時：2019/12/02 17:04

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/01 19:03

fx=4x-4(x²+y²)x=4x{1-(x²+y²)}=0 → x=0 or x²+y²=1

fy=-4y-4(x²+y²)y=-4y{1+(x²+y²)}=0 → y=0
したがって、停留点は (0,0),(±1,0)

このうち，D=0 は (±1,0)
f=-(x²-1)²-y²(y²+2x²+2)+1≦1 (x=±1, y=0を考えてまとめる)
したがって、定義から
f(±1,0)=1 は極大。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/02 20:02

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/01 23:53

D って何じゃいな？

f(x,y) を、テイラー展開の一次項が 0 になるような点を中心にテイラー展開して、
二次項の正負を調べればいいんですよ。テイラー展開の二次項は
(∂^2f/∂x^2)(Δx)^2 + 2(∂^2f/∂x∂y)(Δx)(Δy) + (∂^2f/∂y^2)(Δy)^2
という形をしているから、この二次形式の符号を調べるために
行列 H =
　　∂^2f/∂x^2　　∂^2f/∂x∂y
　　∂^2f/∂x∂y　　∂^2f/∂y^2
を対角化すればいい。
この行列の行列式だけでなく、各固有値を見ることがポイントです。

f(x,y) = 2(x^2 - y^2) - (x^2 + y^2)^2 であれば、
臨界点は ∂f/∂x = 2・2x - 2(x^2 + y^2)・2x = 4x(1 - x^2 - y^2) = 0,
∂f/∂y = 2・(-2y) - 2(x^2 + y^2)・2y = 4y(-1 - x^2 - y^2) = 0
より、(x,y) = (0,0), (±1,0)。

(x,y) = (0,0) において、
H =
　　4　　0
　　0　　-4.
この H は正負両方の固有値を持ち、よって (x,y) = (0,0) は f(x,y) の鞍点。

(x,y) = (±1,0) において、
H =
　　-8　　0
　　0　　-8.
この H はどれも負の固有値を持ち、よって (x,y) = (±1,0) は f(x,y) の極大点。

det H = 0 になった場合にも、H が 0 以外の固有値をひとつでも持てば、
固有値がどれも負　→　(狭義)極大点
固有値が負か0　　→　広義極大点
固有値がどれも正　→　(狭義)極小点
固有値が正か0　　→　広義極小点
正負両方の固有値　→　鞍点
と判別できます。
H = O であった場合には、テイラー展開の三次以上の項を見て
考える必要があります。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/02 08:16

ごめん。

#1は判別式 Dの計算間違いでした。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/02 19:20

＞狭義極大点と広義極大点の違いがよくわかりません。

＞極大値となるのは狭義極大点の時だけという考え方であっていますか？

そこは、No.2 末尾に書いた場合分けから逆読みで理解してほしいところですね。
(a,b) が狭義極大点だというのは、(x,y) が (a,b) の近傍にあるとき f(x,y) < f(a,b) だということで、
(a,b) が広義極大点だというのは、(x,y) が (a,b) の近傍にあるとき f(x,y) ≦ f(a,b) だということ。

一次元でも、例えば
x < 0 のとき f(x) = -x^2,
0 ≦ x < 1 のとき f(x) = 0,
1 ≦ x のとき f(x) = -((x-1)^2)((x-2)^2)
と定義した f(x) について、極大点はどこか？と考えれば、狭義極大と広義極大が現れます。

狭義極大だけを極大と呼ぶのかどうかは「極大」という言葉の
その文脈での定義次第なので、一概には言えませんが、
広義極大も含めて「極大」と呼ぶほうが、どちらかと言えば普通かなあと思います。

この回答へのお礼

理解できました！
詳しく解説していただきありがとうございました！

お礼日時：2019/12/02 20:02