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ファンデルワールス状態方程式の臨界状態において、臨界体積Vrは、Vの3次関数の極値であると同時に変曲点でもあります。
3次関数の極値とは、関数の微分が0になる点です。3次関数は次のように表されます。
f(V) = aV^3 + bV^2 + cV + d
ここで、a、b、c、dは定数です。f(V)をVで微分したものをf'(V)とすると、
f'(V) = 3aV^2 + 2bV + c
となります。極値を求めるためには、f'(V) = 0と置きます。すると、
3aV^2 + 2bV + c = 0
となります。これをVについて解くと、
V = (-2b ± √(4b^2 - 12ac)) / 6a
となります。この式で、√(4b^2 - 12ac)が0になると、2つの解が重なり合い、極値を持つことになります。
変曲点とは、関数の2階微分が0になる点であり、関数の凹凸が変わる点です。3次関数f(V)の2階微分f''(V)は次のようになります。
f''(V) = 6aV + 2b
f''(V)が0になると、
V = -b / 3a
となります。この点が関数の変曲点になります。
したがって、3次関数の極値でもあり変曲点でもある場合、Vが臨界体積Vrであるとき、V - Vrの3乗が0になることが分かります。つまり、
(V - Vr)^3 = 0
と表せるます。
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