No.4ベストアンサー
- 回答日時:
三重積分{ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1}
∫∫∫x^2yz dxdydzの範囲
1、左上図は立方体OABCDEFGを示し、不等式では
0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1となる。
これに対し、不等式0≦x≦y≦z≦1の中には、x≦yとy≦zという式が入っているので、
範囲は立方体OABCDEFGにはなりません。
2、左上図y≦zの不等式は、y=zが境界面です。境界面は長方形OAFGで、この面より下側を切捨てる。
x≦yの不等式は、x =yが境界面です。境界面は長方形OBFDです。で、この面より手前側を切捨てるが、長方形OBFDと長方形OAFGは直線OFで交わるので、実際の断面は三角形OFDとなる。
3、下左図:切り捨てて残った領域は四面体OFGDで、これが、0≦x≦y≦z≦1の領域になる。
三角形ODGの平面はx=0で、積分の出発点となる。x軸と平行に積分領域を進むと、三角形OFDにぶつかる。この面はx=yで、xの積分の終点である。yの積分は、y軸と平行に積分領域を進むと、三角形OFGにぶつかる。この面はy=zで、yの積分の終点である。この面は、また、zの積分はz軸と平行に積分領域を進むと、三角形DFGにぶつかる。この面はz=1で、zの積分の終点である。
下左図で四面体OFGDを高さzの位置で切ると。断面は三角形HIJになる。この三角形の厚さdzの領域の積分h(z)を計算し、それをz=0から1まで積分すると三重積分Iになる。
4、下右図、被積分関数をf(x,y.z)=x ²yz を求めるには、y,zを決めた所(矢印)で、xの積分の(0~y)を行い
g(y,z)dydz=∫(0~y)x ²yz dxdydz=[ x³/3](0~y)yzdydz=(y⁴z/3)dydz
これをyの範囲(0~z)で積分すると
h(z)dz=∫(0~z)g(y,z)dydz=∫(0~z) y⁴z/3dydz=∫(0~z) y⁴dy(z/3)dz
=[y⁵/5](0~z)(z/3)dz=(z⁵/5)(z/3)=(z⁶/15)dz
I =∫(0~1)h(z)d z=∫(0~1) (z⁶/15)d z=[z ⁷/7](0~z) (1/15)=1/105
No.3
- 回答日時:
∭{x²yz}dxdydz {(x,y,z)|0≦x≦y≦z≦1}
=1/105・・?? (計算してもそうならんが・・!?)
∭{xyz²}dxdydz {(x,y,z)|0≦x≦y≦z≦1}
・・ではなくて・・!?
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