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円柱面x^2+y^2=1と平面z=xで囲まれた部分の体積を重積分を使って解くのですが、いくら考えても答えが合いません。解説をお願いしたいです。

ちなみに答えは4/3です

gooドクター

A 回答 (4件)

#2です。



積分する部分の立体をイメージしやすいように
A#2で求めた体積Vの積分領域の
円柱面x^2+y^2=1と平面z=xと平面z=0で囲まれた部分
の立体図を添付します。
「重積分の問題です」の回答画像4
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図を描いて、大体のイメージをつかんで


問題を解くことを薦める。
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円筒:x^2+y^2=1を


斜めの平面:z=xで切断したら
2つの円筒が2つに分割されるだけで
上、下が無限までのびていて、囲まれた部分ができません、

問題文が不完全です。
例えば
D={(x,y,z)|x^2+y^2=1,z=x,z=0で囲まれた部分}
の領域であれば、共通部分の立体ができますので
体積Vが求められます。

この領域の体積Vなら
V=2∬[x^2+y^2≦1,0≦x] x dxdy
=2∫[-1→1] dy∫[0→√(1-y^2)] x dx
=4∫[0→1] (1-y^2)/2 dy
=2[y-(y^3)/3][0→1]
=2(1-(1/3))
=4/3
となります。
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囲まれてない。


体積 ∞。
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