重積分で曲面間の体積を求める問題

曲面 x^2+2y+z=0 と曲面 y^2-z-3=0 で囲まれた図形Vの体積を求めなさい。

分かる方、重積分を用いた解法を教えてください。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  私が思いつく解法です。
  ①２つの曲面の共通部分の領域Dを求め、計算しやすいように領域Dを極座標変換して領域Eを求める。
  ②領域E上で重積分する。ここで、被積分関数は、ｚ軸が上の曲面から下の曲面を引いたもの。
  
  この解法で、①の極座標変換したときの領域Eの (r, Θ) 範囲、また、②の被積分関数を求めるときに、どちらの曲面が上にあるのか、判別する方法が分からないです。
  
  この２点を詳しく教えてもらえると嬉しいです。

    補足日時：2023/05/06 15:44

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/06 18:32

z=y²-3・・・・①

　z=-x²-2y・・・②
の2つ曲面で囲まれる領域を求める。xを固定してx一定の面での
2つの曲線の領域を考える。2曲線の交点は
　y²-3=-x²-2y → y²+2y+(x²-3)=0
→ y=-1±√{1-(x²-3)}=1±√(4-x²)
したがって、
　y=-1-√(4-x²) ～ -1+√(4-x²)・・・・・③
の範囲になる。

当然、交点が存在するにはルート内が負にならない、つまり
　|x|≦2・・・・・④
の範囲となる。

この辺は xを 0～2の範囲で変えた図を見ると、積分範囲のイメー
ジがつく(対象なので x=-2～0の範囲も同じ)。xが変わると①は
変わらず、②は下に下がっていく。

すなわち積分範囲は③④となる。したがって
　V=∫[-2, 2]dx ∫[-1-√(4-x²), -1+√(4-x²)] dy {(-x²-2y)-(y²-3)}
　　=2∫[0, 2]dx ∫[-1-√(4-x²), -1+√(4-x²)] dy {-y²+(3-x²)-2y)}
　　=8π

となる。

この積分は面倒なので wolframalpha に投げた。
https://www.wolframalpha.com/input?i=Integrate%5 …

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/07 11:24

①②の方針は適切ですね。

おっしゃる通り、被積分関数をx,yの関数f(x,y)と表せば簡単で、さらに極座標に変換すれば暗算でもできる。
　ご質問の場合、積分範囲D内でf(x,y)の符号が変わることはない。なぜならDの境界は ∂D={(x,y)| f(x,y)=0} ソノモノだからです。なので、D内の点(x,y)において「どちらの曲面が上にあるのか」ということと、「(x,y)が積分範囲D内である」ということとは、どちらも同じ意味で、すなわち f(x,y)≧0 ということに他ならない。つまり、被積分関数をf(x,y)とすると、積分範囲は D={(x,y) | f(x,y)≧0} になるわけです。
　言い換えれば、「どちらの曲面が上にあるのか」かなんてことはとりあえず無視して、D内で f(x,y)か -f(x,y)かを（自分が計算しているのがどっちであるかは気にしなくていいから）積分して、結果の絶対値を取ればOK。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/06 18:36

図を忘れた