数学の問題ですが、わかりません

辺AB=3,AC=4,BC=5,AD=6,BD=7,CD=8である四面体ABCDの体積を求めよ

という問題です。
解放がさっぱり思いつかないので、ベクトルで解くことにしました。
三角形ABCは直角三角形なので缶単位面積がもとまりそうだったので、Dから三角形ABCを含む平面に垂線をおろし、交点をHとし、DHの長さを出そうと試みました。
DH=(1-t-s)DA + tDB + sDCとおけ、さらにDHとAB,DHとACは垂直であることから、DH・AB=0,DH・AC=0を解こうとしました。
辺の長さが出ているため、DA・DB、DA・DC、DB・DCといった内積の値も出してあります。
DH・AB=0,DH・AC=0を計算すると、t=-2/9、s=-3/8と求まり、DHの2乗を計算しようと思ったのですが、あまりにも計算が煩雑すぎてここで挫折しました。

この回答の方針は合っていますでしょうか？
また、ここまで書いて本番で回答を提出した場合、30点満点中何点もらえると思いますか？

質問者からの補足コメント

• 

  これって座標を置かずに私のようなやり方では解けないんでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/07/18 09:39

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/18 19:34

座標を置いて解いた方がはるかに簡単にでき満点とれるのに

あえてそれをしないで途中で挫折したため
0点

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/18 16:17

座標を置いて解いた方がはるかに簡明にできるのに

なぜそれをしないのか理解できません

あなたのようなやり方では
あまりにも計算が煩雑すぎるのだから
計算が正しいかどうかのチェックが必要となり
結局どこかで計算間違いがおきるし
解くのに長い時間がかかります

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/07/18 15:28

質問者の方法で計算できるかについて答えると、計算可能。

計算は難しいが別に不可能というレベルでもない。

ただ、基底ベクトルの取り方や|DH|^2の計算の仕方などかなり面倒なことをしている印象がある。

ここから先、ベクトルは記号を省略してABとかADと書くことにする。長さは|AB|と書く。

基底として取るベクトルとしては
AB,AC,AD
が良い。以下の理由を述べる。

ABとACが直交することがわかっているのだからAB・AC=0となる。計算の際に項が減りそう。

HはA,B,Cの張る平面上にある。つまりAH=s*AB+t*ACと二つのベクトルで表すことができる。
さらに後述する方法で|AH|^2を求める際にAB・AC=0となることから計算が楽。


さらに、最後の計算で|DH|^2=DH・DHで計算していますが、以下の方が計算が少なくなりそう。
1.|DH|^2=DH・DAとしてから計算。
△ADHにおいてAH⊥DHです。これからDH・DA=DH・DHとなります。

2.△ADHが直角三角形であることを利用しピタゴラスの定理を利用する。
|DH|^2=|AD|^2-|AH|^2
多分このほうが計算量は少ない。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/18 10:23

補足日時：2024/07/18 09:39について

座標を置かずにあなたのようなやり方で解けるかもしれないけれども非常に難しいので
座標を置いて解いた方がよいです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/18 06:26

#2訂正です

|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,|AD|=6,|BD|=7,|CD|=8

A=(0,0,0)
B=(3,0,0)
C=(0,4,0)
D=(x,y,z)
とすると
zが△ABCを底面としたときの高さになる

|AD|^2=x^2+y^2+z^2=36…(1)
|BD|^2=(x-3)^2+y^2+z^2=49…(2)
|CD|^2=x^2+(y-4)^2+z^2=64…(3)

(2)から
x^2-6x+9+y^2+z^2=49
x^2-6x+y^2+z^2=40
↓これを(1)から引くと
6x=-4
x=-2/3…(4)

(3)から
x^2+y^2-8y+16+z^2=64
x^2+y^2-8y+z^2=48
↓これを(1)から引くと
8y=-12
y=-3/2
↓これと(4)を(1)に代入すると
(2/3)^2+(3/2)^2+z^2=36
4/9+9/4+z^2=36

z^2
=36-4/9-9/4
=(36^2-4^2-9^2)/36
=(36^2-16-81)/36
=(1296-97)/36
=1199/36

z=√1199/6

底面積は
|△ABC|=3*4/2=6

体積は
|4面体ABCD|/3
=|△ABC|z/3
=√1199/3

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/18 06:22

|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,|AD|=6,|BD|=7,|CD|=8

A=(0,0,0)
B=(3,0,0)
C=(0,4,0)
D=(x,y,z)
とすると
zが△ABCを底面としたときの高さになる

|AD|^2=x^2+y^2+z^2=36…(1)
|BD|^2=(x-3)^2+y^2+z^2=49…(2)
|CD|^2=x^2+(y-4)^2+z^2=64…(3)

(2)から
x^2-6x+9+y^2+z^2=49
x^2-6x+y^2+z^2=40
↓これを(1)から引くと
6x=-4
x=-2/3…(4)

(3)から
x^2+y^2-8y+16+z^2=64
x^2+y^2-8y+z^2=48
↓これを(1)から引くと
8y=-12
y=-3/2
↓これと(4)を(1)に代入すると
(2/3)^2+(3/2)^2+z^2=36
4/9+9/4+z^2=36

z^2
=36-4/9-9/4
=(36^2-4^2-9^2)/36
=(36^2-16-81)/36
=(1296-97)/36
=1199/36

z=√1199/6

底面積は
|△ABC|=3*4/2=6

体積は
|4面体ABCD|
=|△ABC|z
=√1199

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2024/07/18 00:47

錐体の体積の出し方を思い出しましょう。

それで解決する問題のような気がします。

まあ、どの面を底面として考えるかは質問者さん次第。

・・・

30点満点という事なら、問題数は少ないでしょうから、
5～10点。