数学I

AB=AD=2 CB=CD=1をみたす四角形ABCDが円に内接している。
BDの長さを求めよ

という問題ではAC^2=4+1 AC=√5と出た後に
AC垂直BDだから四角形ABCDの面積を２通りに表すと
AC/2×BD=1/2×2×1×2
BD=4/√5=4√5/5
となっていたのですがなぜACとBDが垂直と分かるんですか？
またなぜAC/2×BDで四角形の面積になるんですか？

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/09 20:45

△ABDは2等辺3角形だから

∠ABD=∠ADB
△BCDは2等辺3角形だから
∠CBD=∠CDB
∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB=∠ADC

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/04/09 14:36

先ず「AB=AD=2 CB=CD=1をみたす四角形ABCD」を 紙に書いてみて。

△ABC≡△ADC になることが分かりますね。
つまり AC と BD は 直交していることが分かる筈です。
これで あなたの疑問が 解決できると思いますよ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 14:15

No.2 です。

＞またなぜAC/2×BDで四角形の面積になるんですか？

B、D はACに対して対称位置にあるから、
　△ACB = △ACD = (1/2) × AC × (BD/2)
です。

そして、
　四角形の面積 = △ACB + △ACD = △ACB × 2 = △ACD × 2

この回答へのお礼

わかりやすいです。ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/09 14:22

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 14:11

＞なぜACとBDが垂直と分かるんですか？

二等辺三角形の、長さの等しい辺の頂点から、対辺の中点に下した直線だからね。

そもそも、AC が外接円の直径で、B、D はACに対して対称位置にあることも分かっているよね。

No.1 回答者： hectopascal 回答日時： 2024/04/09 14:07

三角形ABDと三角形CBDが直角三角形であることを考慮して、ピタゴラスの定理を使用します。

三角形ABDにおいて、AB^2 = AD^2 + BD^2 を利用してBDを求めます。
同様に、三角形CBDにおいて、CB^2 = CD^2 + BD^2 を利用してBDを求めます。
これらの方程式を解いてBDの長さを求めます。
BDの長さを計算すると、BD = √5 となります。