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円柱面x^2+y^2=1と平面z=xで囲まれた部分の体積を重積分を使って解くのですが、いくら考えても答えが合いません。解説をお願いしたいです。

ちなみに答えは4/3です

A 回答 (4件)

#2です。



積分する部分の立体をイメージしやすいように
A#2で求めた体積Vの積分領域の
円柱面x^2+y^2=1と平面z=xと平面z=0で囲まれた部分
の立体図を添付します。
「重積分の問題です」の回答画像4
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図を描いて、大体のイメージをつかんで


問題を解くことを薦める。
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円筒:x^2+y^2=1を


斜めの平面:z=xで切断したら
2つの円筒が2つに分割されるだけで
上、下が無限までのびていて、囲まれた部分ができません、

問題文が不完全です。
例えば
D={(x,y,z)|x^2+y^2=1,z=x,z=0で囲まれた部分}
の領域であれば、共通部分の立体ができますので
体積Vが求められます。

この領域の体積Vなら
V=2∬[x^2+y^2≦1,0≦x] x dxdy
=2∫[-1→1] dy∫[0→√(1-y^2)] x dx
=4∫[0→1] (1-y^2)/2 dy
=2[y-(y^3)/3][0→1]
=2(1-(1/3))
=4/3
となります。
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囲まれてない。


体積 ∞。
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Q重積分により体積・面積を求める問題

(1)放物面z=x^2+y^2とz=4-x^2ーy^2で囲まれる体積を求めよ
以上のような問題において図形的にどちらの関数が上にくるのかいまいち判別できません。
平面上の関数なら概形や位置関係がわかるのですが・・・

(2)上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2
範囲Dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。
最初の式をf(x、y)z=√1-(x^2+y^2)、さらにg(x、y)=√3/2としても
困難な計算になるため正しい方法とは思えません。
どなたか知恵をお貸しください。

Aベストアンサー

続いて(2)について

>「上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2」で囲まれた立体の体積Vを求めれば良いですね。
立体は半径1の半球をz=√3/2の平面で切断し、上側をそぎ落とした残りの部分の立体となります。
これもz軸を中心とした回転体の体積で求まります。

>範囲Dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。
この範囲をどこから出したのか、さっぱり分かりません。

立体をy=0の平面(xz座標面)で切断した座標面で考えると
回転体の体積公式を使って
 V=π∫[0,√3/2] x^2 dz , ただし x^2+z^2=1
V=π∫[0,√3/2] (1-z^2) dz
この位の積分は出来ますね。やってみて下さい。
 ( → V=3(√3)π/8 )

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

Q円柱と円の方程式

円柱と円の方程式

円柱の方程式を調べてみたところ、

x^2+y^2=1

と分かりました。
しかし、これは、半径1の円の方程式ではないのでしょうか?

また、x^2+y^2=x というようなものも発見しました。
これも円柱の方程式なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

x^2+ y^2= 1に加えて
・「z= 0」や「z= 1」や「xy平面上において」などとあれば、円になります。
・特に、何も書かれてなければ、zはなんでもよいことになるので、無限に長い円柱(円筒?)になります。
・「0≦ z≦ 5」などと書かれていれば、高さが 5の円柱になります。

空間図形を考えるときには、x, y, zの 3つの座標を考えることになりますから、何も書かれてなければ自由に値をとっていいことになります。

ただし、座標の値は実数ですから、x^2+ y^2+ z^2= 1(半径 1の球)といった場合には、何も書かれてなくても取り得る値に制限がかかります。
(実数であることがある意味制限ですね。)

Q球と円柱の共通部分の体積

「原点を中心とする半径Rの球x^2+y^2+z^2=R^2と半径R/2の円柱x^2+y^2≦Rxの共通部分の体積を求めよ。」
この問題ののアプローチが分かりません。
どういう状態なのかをイメージすることができますが、具体的に計算で体積を求めるにはどういった解法を用いるのか、ひらめきません。
分かる方、指南よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦y、でz方向に0→√(R^2-x^2-y^2)だから、
V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
r:0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1354059158

体積Vは、共通部分は、底面[D] x^2+y^2≦Rx、0≦y、でz方向に0→√(R^2-x^2-y^2)だから、
V=∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2) dxdy

極座標変換すると、
x=rcosθ=(R/2)+(R/2)cos(2θ)
y=rsinθ=(R/2)sin(2θ)
r=√(x^2+y^2)=√{(R^2/2)+(R^2/2)cos(2θ)}=Rcosθだから、
r:0→Rcosθ、θ:0→+π/2、dxdy=rdrdθ より、
V/4=∫[0→π/2] dθ∫[0→Rcosθ] √(R^2-r^2) rdr
=(1/3)∫[0→π/2] {R^3-R^3(sinθ)^3}dθ=(1/3)(π/2-2/3)R^3
4倍して、
V=(4/3)(π/2 -2/3)R^3
={(2/3)π-(8/9)}R^3

(参考URL)以下の過去の質問でa→Rと置き換えて下さい。
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Q重積分の意味

重積分は2次元の場合には面積。3次元の場合には体積となりますが、そのように考えていくと同考えても重積分は負の値をとり得ないような気がします。

計算をして負となる値が出る場合にはそれが正しいのかどうか?

どのように考えればよろしいのでしょうか?

Aベストアンサー

高校で扱う重積分はある平面領域D上で2変数関数を積分する定積分です。(もちろん領域を指定しない不定積分もありますが、ここでは質問の趣旨の定積分に限定します。)

>計算をして負となる値が出る場合にはそれが正しいのかどうか?
他の方の回答にもありますように、積分領域や被積分関数により結果は正負どちらにもなります。
このことは被積分関数の符号を変えただけで積分結果の符号も反転します。積分領域を変えても符号が変わる場合も出てきます。
ですから、重責分の積分結果は正、ゼロ、負のいずれの値も取りえます。
したがって、計算結果が負になっても間違っているとはいえません。

例として、積分結果が負になる一例を挙げておきます。
∬[D] (x^2 - y^2)dxdy=-1/2, D={(x,y)|0≦x+y+1≦1,0≦xy≦1}

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

QTOEFL ITPのスコアについて教えてください。

こんにちは。
大学でTOEFLのテストを受けました。
結果は443?点でした。
ですがこのスコアはどの程度のものなのでしょうか?
というのも、こんな成績で恥ずかしながら運良く入試がよく解けて大学の特待生として入学したので、傑出していなければ落とされてしまうのではと不安でたまりません。
偏差値60前後の大学なのですが、その新入生としてはやはり悪い数字でしょうか?
実際に、500点が留学の基準と言われていますよね?
それには少なくても満たないし…。
入試が終わってから一ヶ月サボったつけが回ってきたと後悔しています。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ITPの場合は、満点が677点。でCBTやibtとの換算表においては、PBTとまったく同じ点数となります。
http://www.ncc-g.com/page33.html
443点ということは、cbtで127、ibt43と同じということですが、ibt43が高校卒業と同じぐらいのレベルですから、大学1年生としては妥当なスコアだと思います。これから努力すればスコアは上げられますよ。
http://eq-g.com/article/exam/exam-hikaku/

Q二重積分の意味について

こんばんわ。
いま大学1年なのですが、微積で二重積分∬というものを計算していて思ったのですが、この∬はx方向とy方向の双方向から積分していて今までやってきた積分を二回しているのと同じで、果たして意味があるのか?と思いました。

初めは教科書を見ていたら二重積分は立体の体積を求めているのかと思えば、三重積分で立体を求めていたので「??」となってしまいました。
どなたか簡単な例などを交えて二重積分の意味(図形のどこを求めているのか)を教えてください。m(__)m

Aベストアンサー

積分を使って曲線で囲まれた面積を求めるとき
平面図形をたくさんの細い帯に分けて考えますよね

これは例えばx方向の幅を細かくして面積をたくさんの長方形(帯)の集まりとして考えているのです

二重積分も同じことで曲面で囲まれた立体の体積を求めるのに使います
立体図形のx方向,y方向の幅を細かくし、立体を細長い柱の集まりとして考えるのです

ではなぜ三重積分でも体積が求まるかというと
それは先ほどの細い柱をさらに縦に細かく切って
立体を細かい立方体の集まりと考えるからです

体積だけなら二重積分で十分な場合も多いのですが
立体の質量を求めるとき密度が一様でなかったら
(二重積分における細い柱の真ん中と端っこが違う素材で出来ているような場合は)
立体をさらに細かくして、狭い範囲では密度が一定と考え質量を求めるのです

もし微積分の教科書を持っているならたいていのものには
二重積分で体積を求めるイメージをわかりやすくグラフや図で説明してあると思います、探してみるのもいいとおもいますよ

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
重量M=質量W(ただし値のみ。単位は異なる)であること
を利用し、1/2WD^2[kgf・m^2]をW→M、D→Rとし、4で割って、改めて単位をkg・m^2と置けばいいのです。他の慣性モーメントについても、全ての項がWD^2となっているから、同様に4で割り単位をkgf・m^2→kg・m^2とするだけです

参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2...続きを読む


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