空間の問題

高校生のものです。
rを正の実数とする。xyz空間で
x^2+y~2≦r^2, y^2+z^2≧, z^2+x^2≦r^2を満たす点全体からなる立体の堆積を求めよ。

という問題がなかなかいい方法が浮かびません。
図形を考えると半径rの円柱が3本ありそれぞれ垂直に貫通しているということがわかるのですが、どう手を付けたらいいのかわかりません。
どなたか教えてください。

No.3 回答者： tecchan22 回答日時： 2008/08/20 00:12

三つとも≦で表される形（中心軸が互いに直交する、半径が等しい３本の円柱の共通部分）の体積を、高校のときＺ会でやりました。

懐かしいですね。

別解として、（２本の円柱の共通部分）－（３本の円柱の共通部分）
で求めてもいいですね。（計算の難易度は変わりませんが、図形の意味が分かりやすいかも）

（３本の円柱の共通部分）は、投影図（正面、上、横の三方向から見た図）が全て円になる、最大の図形であり、「球でない」形な訳で、そこが興味深いです。

空間図形に強い同級生が、実際に紙で作ってきてくれましたが、なかなか可愛い（？）形でしたよ。

本題に戻りますが、２本の円柱の共通部分の体積はｏｋということで、３本の共通部分をやります。

考え方（切り方）は２本と同じです。２本の場合をベースに考えます。

問題の設定にあわせて、ｘ軸を上に取りますね。
ｘ＝ｔ（ｔ≧０）で切断したとき、（ｙ，ｚ軸を中心軸とする円柱の共通部分）の切り口は、（一辺 2√(r^2-t^2) の）正方形な訳で、それと半径ｒの円との共通部分が、求める切り口になります。

なので、正方形が円に含まれるときと、はみ出す（？）ときとで、場合分けをします。
ｔ＝(1/√2)r で、分かれますね。

問題は、０≦ｔ≦(1/√2)r の場合なわけで、このときは、（三角形１つ＋扇形１つ）×４として求めます。

扇形の方が一番計算がえらいかな？
中心角をθ（本当は２θとおくとなお良い）とおいて、π/2－θ（三角形の方の頂角）の半分の角のサインが、ｔ/ｒであることを用いて、θに置換して計算します。

三角形のほうは、普通に置換します。

結局、三角形の頂角の方を２αとおくと、
扇形＝(1/2)r^2(π/2-2α）
三角形＝r^2sinαcosα
となり、sinα＝t/r より、dt=rcosαdα
となって、まとめて置換できて一番簡単かも知れませんね。

図を書かずの説明なので分かりにくかったかも知れませんが、この方法を参考に、直接求める計算を、是非考えてみられることをお勧めします。

因みに３本の共通部分の体積は(16-8√2)r^3≒4.6813r^3＞半径ｒの球の体積(4π/3)r^3≒4.1888r^3　となってますね。

No.2 回答者： noname#75273 回答日時： 2008/08/18 21:45

東大の入試問題です。

http://www.densu.jp/tokyo/05tokyossol.pdf
を参考にしてみては？

また、数研出版の問題集は、解説は市販では販売されていません。
学校の先生の経由から、解説は入手可能です。
学校の先生にお願いをしてみてはいかかでしょうか。
（実際、私が高校生のとき、数研出版の解説は学校の先生から自腹をきって、入手できました。）

No.1 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/18 17:31

この解を書き込むのは大変なので、方針と答えだけ書いとく。

先ず、直交する2円柱の体積は、簡単に求められる。
x≧0、y≧0、z≧0の範囲の立体は求める体積の1/8であり、切断面が、√（r＾2-z＾2）の正方形から　その体積は（16/3）*r＾3.

これを3本に応用してやることになるんだが、これは図を描かないととてもじゃないが説明が難しい。
結果は、計算に自信がないが、（8√2-32/3）*r＾3になると思うが。。。。。？

2円柱なら有名問題だが、3円柱となると結構難しそう。
2つの円柱の軸に平行な平面で切る、という方針で良いんだと思うけど。

この回答への補足

答えはあってます。
○研出版の○タンダードという教材に載っていた問題で、回答が３行ぐらいしか書いていないのでまったくヒントにもなりませんでした。
回答にはx=tとおいて、これによって平面に切る。条件より0<t≦√2。それから断面積を求める。みたいなことしか書いてありませんでした。
確かに２本なら容易にできる問題ですが、３本だとなかなかイメージしづらいです。

補足日時：2008/08/18 19:00