三重積分についての問題です ｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝ ∫∫∫x^2yz dxdydz

三重積分についての問題です
｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝
∫∫∫x^2yz dxdydz
この時の範囲のとり方がわかりません
0≦x≦1
0≦y≦1
0≦z≦1
では回答とあいませんでした
答えは1/105です
よろしければ回答お願いします

質問者からの補足コメント

• 0≦x≦y≦z≦1
  この範囲をどうやってx,y,zそれぞれの積分範囲にして積分するのか教えてもらいたいです

    補足日時：2019/01/09 23:57

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/10 22:52

三重積分｛ (x,y,z)0≦x≦y≦z≦1｝

∫∫∫x^2yz dxdydzの範囲

１、左上図は立方体OABCDEFGを示し、不等式では
0≦x≦1，0≦y≦1，0≦z≦1となる。
これに対し、不等式0≦x≦y≦z≦1の中には、x≦yとy≦zという式が入っているので、
範囲は立方体OABCDEFGにはなりません。
２、左上図y≦zの不等式は、y=zが境界面です。境界面は長方形OAFGで、この面より下側を切捨てる。
　x≦yの不等式は、x =yが境界面です。境界面は長方形OBFDです。で、この面より手前側を切捨てるが、長方形OBFDと長方形OAFGは直線OFで交わるので、実際の断面は三角形OFDとなる。
３、下左図：切り捨てて残った領域は四面体OFGDで、これが、0≦x≦y≦z≦1の領域になる。
三角形ODGの平面はx=0で、積分の出発点となる。x軸と平行に積分領域を進むと、三角形OFDにぶつかる。この面はx=yで、xの積分の終点である。yの積分は、y軸と平行に積分領域を進むと、三角形OFGにぶつかる。この面はy=zで、yの積分の終点である。この面は、また、zの積分はz軸と平行に積分領域を進むと、三角形DFGにぶつかる。この面はz=1で、zの積分の終点である。
下左図で四面体OFGDを高さzの位置で切ると。断面は三角形HIJになる。この三角形の厚さdzの領域の積分h(z)を計算し、それをz＝０から1まで積分すると三重積分Ｉになる。
４、下右図、被積分関数をf(x，y．z)＝x ²yz を求めるには、y，zを決めた所(矢印)で、xの積分の(0～y)を行い
g(y,z)dydz=∫(0～y)x ²yz dxdydz=[ x³/3](0～y)yzdydz=(y⁴z/3)dydz
これをyの範囲(0～z)で積分すると
h(z)dz=∫(0～z)g(y,z)dydz=∫(0～z) y⁴z/3dydz=∫(0～z) y⁴dy(z/3)dz
=[y⁵/5](0～z)(z/3)dz=(z⁵/5)(z/3)=(z⁶/15)dz
I =∫(0～1)h(z)d z=∫(0～1) (z⁶/15)d z=[z ⁷/7](0～z) (1/15)=1/105

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます

おかげで文字式の含まれる不等式について勘違いがあったことがわかりました
ありがとうございます

お礼日時：2019/01/11 14:35

No.5 回答者： Ae610 回答日時： 2019/01/11 01:37

ANo.3・・!

ミスった・・!
　申し訳ない　 <(_ _)>

#3解答撤回・・!

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
解決できました

お礼日時：2019/01/11 14:32

No.3 回答者： Ae610 回答日時： 2019/01/10 02:57

∭{x²yz}dxdydz　　{(x,y,z)|0≦x≦y≦z≦1}

=1/105・・??　(計算してもそうならんが・・!?)

∭{xyz²}dxdydz　　{(x,y,z)|0≦x≦y≦z≦1}
・・ではなくて・・!?

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/01/10 00:50

2重積分で

0 ≦ x ≦ y ≦ 1
という範囲だったら, どうしますか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
おかげで解決しました

お礼日時：2019/01/11 14:32

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/01/09 23:54

範囲は

0≦x≦y≦z≦1
じゃないかなぁ.

0≦x≦1
0≦y≦1
0≦z≦1
がどのような範囲でどうしてそう思ったのかしらんけど.

この回答へのお礼

勘違いがあったようです
回答ありがとうございます

お礼日時：2019/01/11 14:31