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高一数学です。とても困っております
二次方程式x^2+2kx+2k+3=0が重解も持つように、定数kの値を定めよ
という問題で解説を見たら
「D/4=k^2-1•(2k+3)=k^2-2k-3=(k+1)(k-3)よって
答えは−1、3」
と書いてありました
b’^2-acという公式を使い↑k^2となる所までは分かるのですが、続きのなぜ-1•(2k+3)という式になるのか理解できません
教えて下さい

A 回答 (9件)

ax^2+bx+c=0 の、bが偶数のときの判別式、b'^2-ac (偶数係数の判別式)を使っているのですね。

 とても役に立つものですから、是非、使って、慣れてください。  
では、JPEGを添付します。 少し遠回りの説明ですが、しっかり読んで、自分のものにしてください。
「高一数学です。とても困っております 二次」の回答画像7
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この回答へのお礼

理解出来ました
とても感謝します
ありがとうございます。

お礼日時:2019/06/24 06:50

公式そのまんまではないですか。


2次方程式の係数が式から読めない
ということであれば、xで式を整理して見るということが
出来てないので
中学からやり直しですね。
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この回答へのお礼

1人だけ筋違いの回答ありがとうございます。あなたは社会のルールを学び直しに受精卵ならやり直しですね

お礼日時:2019/06/24 06:49

No7の続きです。

「高一数学です。とても困っております 二次」の回答画像8
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ax^2+2bx+c=0 において


判別式D/4=b^2ーacだから
問題の2次式は、
a=1 ,b=k ,c=2k+3 より
D/4=k^2ー1・(2k+3)=k^2ー2kー3

なお、D/4は、bを2bにした場合
D=(2b)^2ー4ac=4b^2ー4ac=4(b^2ーac)だから
D/4=b^2ーacとなり、符号の判別だけに使うから、D/4で判別できる便利なもの!
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D/4 = b’^2-ac を D=b^2-4ac の応用パターンと考えている人が多いのですが、


実は D/4 のほうが本来の形です。D のほうがむしろ応用パターンなのです。
ax^2+bx+c を平方完成すると、
ax^2+bx+c = a{ x^2 + 2(b/2a)x } + c = a{ (x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 } + c
= a (x + b/2a)^2 - { a(b/2a)^2- c } = a(x + b/2a)^2 - (1/a){ (b/2)^2- ac }
となり、式に (b/2)^2- ac が現れます。
D/4 = (b/2)^2- ac と置くと、ax^2+bx+c=0 ⇔ { a(x + b/2a) ]^2 = D/4 なので、
D/4 の符号により ax^2+bx+c=0 の解の個数が判るのです。
y^2 = D/4 となる y が判れば、 a(x + b/2a) = y の x と y は一対一対応ですから。

そういうわけで、x^2+2kx+2k+3 を平方完成してみましょう。
x^2+2kx+2k+3 = {x^2 + 2kx} + (2k+3) = { (x + k)^2 - k^2 } + (2k+3)
= (x + k)^2 - { k^2 - (2k+3) } = (x + k)^2 - D/4 です。
D/4 = k^2 - (2k+3) になっていますね。
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>b’^2-acという公式を使い↑k^2となる所までは分かるのですが



だったら、そのまんまでしょ。
b'=K, a=1, c=(2k+3) ですよね。
b'²-ac → k²-1*(2k+3)=k²-2k-3 。
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「4分の」が付かない判別式Dを利用して解いてみてください。


→D=b²-4ac=4k²-4・1・(2k+3)
⇔D=4k²-8k-12
⇔D=4(k²-2k-3)
⇔D=4(k+1)(k-3)
が導けると思います。
両辺4で割ればD/4=(k+1)(k-3)となり
D/4と同じ式が得られます。
このように、DとD/4は互いに4倍(1/4倍)の関係にある式で、姉妹関係にあります。
問題によってDの方が計算が楽であったり、D/4の方が楽になることがあるので使い分けるのですが、
D/4は分かりづらいという人も多いです
その場合は、(計算がひと手間増えるだけなので)Dを使えばよいのです

なお、この問題では
2b'=bとすれば
b=2kだから
b'=b/2=2k/2=k
aはx²の係数だからa=1
cはx²、xが付かない項の事だからc=2k+3
よって、これらを使ってD/4の公式のa,b',cを置き換えると
D/4=b'²-ac=k²-1・(2k+3)が得られます。
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あなたのいう a やら c やらって, なんですか?

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2次方程式ax^2 + bx + c=0(a:0以外の実数、b,c:実数)の判別式Dは



D=(-b)^2 - 4ac=b^2 - 4ac

です。(-acではありません)
今回の問題の場合、

D=(-2k)^2 - 4×1×(2k+3)=4k^2 - 4(2k+3)
D/4=k^2 - (2k+3)

となります。
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