3次関数 y=ax^3+bx^2+cx+d のグラフは、点(3,-2)に関して対称であり、x=1で極

3次関数 y=ax^3+bx^2+cx+d のグラフは、点(3,-2)に関して対称であり、x=1で極大値2/3をとる。 a,b,c,d,の値を求めよ。

この解き方が全くわからないです。

詳しく教えて頂きたいです！

答えはa=1/6, b=-3/2, c=5/2, d=-1/2です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/04 17:46

(3,-2)に関して対称な3次関数のグラフは、

y-(-2) = A(x-3)^3 + B(x-3) と書ける。
x = 1 のときの値 y = A(x-3)^3 + B(x-3) - 2 = 2/3 が　　←[1]
極値であるためには、
x = 1 のとき y’ = 3A(x-3)^2 + B = 0 でなければならない。　←[2]
[1][2]を A, B の連立一次方程式として解くと、
A = 1/6, B = -2 である。
y = (1/6)(x-3)^3 + (-2)(x-3) - 2 = (1/6)x^3 - (3/2)x^2 + (5/2)x - 1/2
より、 a = 1/6, b = -3/2, c = 5/2, d = -1/2.
ただし、[2]のとき x = 1 で y が極値であることしか使っていないので、
それが極大値であることは最後に確認しておかねばならない。

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/06/04 18:13

y=ax^3+bx^2+cx+d　←　点(3,-2)に関して対称であり、x=1で極大値2/3

微分してみる、この微分した結果は、　点(3,-2)が頂点になる事　=　点(3,-2)に関して対称であり　になる。
y’=3ax^2+2bx+c　←　これを平方完成させる　
=3a(x^2+2(b/3a)x)+c
=3a(x^2+2(b/3a)x+(b/3a)^2)+c-3a(b/3a)^2
=3a(x^2+(b/3a))^2+c-(b^2)/3a
頂点( b/3a , c-(b^2)/3a )　=　(3,2)　これを元に方程式を2つ作る
b/3a=-3　→　b=-9a　①
c-(b^2)/3a=-2　②

x=1の時　からも方程式を2つ作る。
y=a+b+c＋d=2/3　③
y’=3a+2b+c=0　④

①を②③④に代入する
②は　c-27a=-2　⑤
③は　-8a+c+d=2/3　⑥
④は　-15a+c=0　⑦
⑤-⑦
-12a=-2　→　a=1/6　①より　b=-3/2　⑦よりc=5/2　⑥よりd=-1/2

発想が勝負な気がしますね。微分した結果の意味も重要かなと思います。
点(3,-2)が頂点になる事　=　点(3,-2)に関して対称であり　←　私の解き方では、これを思いつけるかどうかだと思います。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/05 14:37

x=1で極大値2/3を通るので　そのグラフは点(1,2/3)をとおります

通る点の座標を３次関数に代入して
　2/3=a+b+c+d…①
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおくと
f'(x)=3ax²+2bx+c
x=１で極大値なので　f'(1)=3a+2b+c=0…②
グラフは(3,-2)に関して点対象なのだから、グラフのx=3より左側部分を180度回転させたものが　x=３より右側部分と重なる
ゆえに(1,2/3)と対称な点を(s,t)とおくとこれらの中点が(3,-2)ということになるので
内分点の公式から
(1+s)/2=3
(2/3+t)/2=-2がなりたち
(s,t)=(5,-14/3)
極大を180度回転させたものだからこの(5,-14/3)は極小ということになる
点(5,-14/3)を通るので
-14/3=125a+25b+5c+d…③
極小だから
f'(5)=75a+10b+c=0…④
③-①としてdを消去
-16/3=124a+24b+4c⇔-4/3=31a+6b+c…⑤
②より　c=-3a-2bを④と⑤へ代入
75a+10b+(-3a-2b)=72a+8b=0⇔b=-9a…6
-4/3=31a+6b+(-3a-2b)=28a+4b
⇔-1/3=7a+b
⇔-1=21a+3b…7
６，７から
-1=21a+3(-9a)=-6a
a=1/6

b=-9a=-3/2

c=-3a-2b=(-1/2)+3=5/2

d=2/3-a-b-c=(2/3)-1/6-(-3/2)-5/2=-1/2