数学の最大、最小の問題です。 関数fx=-|x|(x-a)+(x+2a)|x-a|(a>0)について

数学の最大、最小の問題です。


関数fx=-|x|(x-a)+(x+2a)|x-a|(a>0)について、区間2a-3<=x<=2a-2における最大値 M(a)をaを用いて示せ。　　

解答、解説お願いします。

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/27 21:44

x≦０のとき、|x|=-x

x>0 のとき、|x|=x

x-a≦0、つまり、x≦a のとき、|x-a|=-(x-a)
x-a>0、つまり、x>a のとき、|x-a|=x-a

これより、3つに場合分けされます。
[1] x≦０のとき、
f(x)=-(-x)(x-a)-(x+2a)(x-a)
=x²-ax-(x²-ax+2ax-2a²)
=-2ax+2a²

[2] 0<x≦a のとき、
f(x)=-x(x-a)-(x+2a)(x-a)
=-x²+ax-(x²-ax+2ax-2a²)
=-2x²+2a²

[3] a<x のとき、
f(x)=-x(x-a)+(x+2a)(x-a)
=-x²+ax+(x²-ax+2ax-2a²)
=2ax-2a²

y=f(x) のグラフを考えます。
[1] x≦０のとき、
傾き -2a の直線でy軸との交点は (0,2a²)

[2] 0<x≦a のとき、
上に凸の放物線で頂点(0,2a²)、x軸との交点は (a,0)

[3] a<x のとき、
傾き 2a の直線でｘ軸との交点は (a,0)

これより、y=f(x) のグラフは、x≦a のとき減少で、x=a のとき、最小値０をとり、a<x のとき増加です。区間 2a-3≦ｘ≦2a-2 の幅は、(2a-2)-(2a-3)=1 、a>0 より、2a-3>-3 なので、-3より正の方向に向かって幅１の区間を動かしてその区間での最大値M(a) を求めます。
分かりやすいように、f(x) を下記のように区別します。
[1] x≦０のとき、f₁(x)=-2ax+2a²
[2] 0<x≦a のとき、f₂(x)=-2x²+2a²
[3] a<x のとき、f₃(x)=2ax-2a²

x=a まではグラフは減少するので、幅１の区間で最大となるのは区間の左端です。よって、x=2a-3 のとき最大ですが、x=0 を境に f(x) の式が変わるので最大値M(a)も変わります。
x≦０、つまり、2a-3≦0 のとき(a≦3/2)
M(a)=f₁(2a-3)=-2a(2a-3)+2a²=-2a²+6a
x>0、つまり、2a-3>0 のとき(a>3/2)
M(a)=f₂(2a-3)=-2(2a-3)²+2a²=-6a²+24a-18

区間を動かしていって、区間の右端が x=a を過ぎるとグラフが増加している部分に入ってきます。最初は最大となるのは区間の左端だったのが、あるところで区間の左端と右端の f(x) の値が等しくなり（区間の左端は x=a の左側、区間の右端は x=a の右側）、それを過ぎると最大となるのは区間の右端になります。そこで、等しくなるときの a の値を求めます。
2a-3<a , a<2a-2 より、2<a<3

区間の左端 f₂(2a-3)=-6a²+24a-18
区間の右端 f₃(2a-2)=2a(2a-2)-2a²=2a²-4a

-6a²+24a-18=2a²-4a
8a²-28a+18=0
4a²-14a+9=0
a=(7±√13)/4
a=(7-√13)/4=(7-3.…)/4=0.…
a=(7+√13)/4=(7+3.…)/4=2.…
2<a<3 より、
a=(7+√13)/4

以上より、
0<a≦3/2 のとき、M(a)=-2a²+6a
3/2<a≦(7+√13)/4 のとき、M(a)=-6a²+24a-18
(7+√13)/4<a のとき、M(a)=2a²-4a

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/25 13:23

x ≦ 0 と 0 ≦ x ≦ a と a ≦ x で場合分けすれば

式から絶対値が消えるよね。

x ≦ 0 のとき
f(x) = -(-x)(x-a)+(x+2a)(-x+a)
　　= -2ax+2a^2,

0 ≦ x ≦ a のとき
f(x) = -(x)(x-a)+(x+2a)(-x+a)
　　= -2x^2+2a^2,

a ≦ x のとき
f(x) = -(x)(x-a)+(x+2a)(x-a)
　　= 2ax-2a^2.

f(x) は x = a に最小値を持つ連続関数と判った。

この場合分けと f(x) の定義域 2a-3 ≦ x ≦ 2a-2 の
重なり具合いを特定するために、
今度は a での場合分けが必要になる。

2a-2 ≦ a すなわち a ≦ 2 の場合には、
f(x) は定義域全域で減少関数になるから
最大値は M(a) = f(2a-3) である。
f(2a-3) を計算するためには、更に
x = 2a-3 が x ≦ 0 に含まれるか 0 ≦ x ≦ a に含まれるか
で場合分けが必要で、
a ≦ 3/2 のとき
f(2a-3) = -2a(2a-3)+2a^2 = -2a^2+6a,
3/2 ≦ a ≦ 2 のとき
f(2a-3) = -2(2a^3)^2+2a^2 = -6a^2+24a-18.

a ≦ 2a-3 すなわち 3 ≦ a の場合には、
f(x) は定義域全域で増加関数になるから
最大値は M(a) = f(2a-2) = 2a(2a-2)-2a^2 = 2a^2-4a.

そのどちらでもない 2 < a < 3 の場合には、
f(x) は 2a-3 ≦ x ≦ a では減少,
a ≦ x ≦ 2a-2 では増加するから
f(2a-3) と f(2a-2) のうち大きいほうが最大値となる。

0 ≦ 2a-3 ≦ a なので
f(2a-3) = -2(2a-3)^2+2a^2 = -6a^2+24a-18,
a ≦ 2a-2 なので
f(2a-2) = 2a(2a-2)-2a^2 = 2a^2-4a.
二次不等式 -6a^2+24a-18 ≧ 2a^2-4a を解くと
(7-√13)/4 ≦ a ≦ (7+√13)/4 だが、
(7-√13)/4 < 2 < (7+√13)/4 < 3 なので、
結局、
2 < a ≦ (7+√13)/4 のとき M(a) = f(2a-3) = -6a^2+24a-18,
(7+√13)/4 < a < 3 のとき M(a) = f(2a-2) = 2a^2-4a.

以上をまとめると、
a ≦ 3/2 のとき M(a) = -2a^2+6a,
3/2 ≦ a ≦ (7+√13)/4 のとき M(a) = -6a^2+24a-18,
(7+√13)/4 < a のとき M(a) = 2a^2-4a.
となる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/25 02:07

符号に注意して絶対値を外す.