連続であることをεδ論法で証明してください

f(x)=x^4 実数上の関数fが、連続関数であることをεδ論法で示してください。
δの置き方ですごく悩んでいて、わからないので、デルタの求め方を詳しく教えてくださると嬉しいです。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 違うんですか？？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/01/14 12:39

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 01:06

h = x - a と置いて、

｜f(x) - f(a)｜ = ｜(a+h)^4 - a^4｜
　　　　　= ｜4a^3 + 6(a^2)h + 4ah^2 + h^3｜・｜h｜
　　　　　≦ (｜4a^3｜ + ｜6a^2｜｜h｜ + ｜4a｜｜h｜^2 + ｜h｜^3)・｜h｜

D > 0 を任意に固定すると、 ｜h｜ < D の範囲で
｜4a^3｜ + ｜6a^2｜｜h｜ + ｜4a｜｜h｜^2 + ｜h｜^3
　　　　　< ｜4a^3｜ + ｜6a^2｜D + ｜4a｜D^2 + D^3
が成り立つ。
この右辺を = M と置くと、 M ≧ D^3 > 0 である。

｜(a+h)^4 - a^4｜ ≦ M・｜h｜ だから、
所与の ε > 0 に対して 0 < δ < ε/M の範囲に δ をとれば
｜x - a｜ = ｜h｜ < δ ⇒ ｜f(x) - f(a)｜ < ε が成り立つ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/14 05:50

f(x)=x^4

任意のε>0に対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}とすると
|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}<1
|x|<|a|+δ<|a|+1
x^2<(1+|a|)^2=1+2|a|+a^2
|x+a|≦|x|+|a|<1+2|a|
x^2+a^2<2a^2+2|a|+1
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}<ε/(1+2|a|+2a^2)^2
だから

|f(x)-f(a)|
=|x^4-a^4|
=|x-a||x+a||x^2+a^2|
<δ|x+a||x^2+a^2|
<δ(1+2|a|)(1+2|a|+2a^2)
<(1+2|a|)(1+2|a|+2a^2)ε/(1+2|a|+2a^2)^2
=(1+2|a|)ε/(1+2|a|+2a^2)
<ε

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 10:22

δ を ε の式で書かないといけないと思ってる人って多いよね。

高校数学の余韻なのか、大学での教え方が良くないのか...

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/14 11:09

f(x)=x^4

任意のε>0に対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}とすると
|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<1
|x|<|a|+δ<|a|+1
x^2<(1+|a|)^2=1+2|a|+a^2
|x+a|≦|x|+|a|<1+2|a|
x^2+a^2<1+2|a|+2a^2≦(1+2|a|)^2
δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}<ε/(1+2|a|)^3
だから

|f(x)-f(a)|
=|x^4-a^4|
=|x-a||x+a||x^2+a^2|
<δ(1+2|a|)^3
<ε(1+2|a|)^3/(1+2|a|)^3
=ε

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 13:03

＞ 違うんですか？？

εδ式を満たす δ が存在することを示せば十分で、
δ の上限を ε の関数として表示する必要などまったく無い。
No.1 の証明を参照。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/01/14 14:03

ちょっとコメント.

状況としては
条件を満たす δ が存在することを示す
↓ (より強い)
条件を満たす δ を式で与える
↓ (より強い)
条件を満たす δ の範囲を示す
となり, ε-δ 論法では一番上の「条件を満たす δ が存在することを示す」だけで十分なので, 実際に δ の式を見せる必要はない.

ただ, δ の式が書けるなら書いちゃった方が簡単に証明できるとは思う.

「δ を ε の式で書く」ことと「δ の上限を ε の関数として表示する」こととは違う話のはずなんだけど, ね.

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 15:40

←No.6

よく解らんのだけど、
「条件を満たす δ を式で与える」 ⇔ δ の上界のひとつを ε の式で与える,
「条件を満たす δ の範囲を示す」 ⇔ δ の上限を ε の式で与える
という意味で言ってんのかな？ いづれにせよ、
「条件を満たす δ が存在することを示す」だけで
εδ論法による収束性の証明として十分
であることに変わりはないのだが。
例↓
今回の No.1

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/15 06:03

関数

f:R→R
任意のa∈R
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となるとき

lim_{x→a}f(x)=f(a)
と
表し
fは任意の点a∈Rで連続であるという

#1の場合のように

D>0
0<δ<ε/(|4a^3|+|6a^2|D+|4a|D^2+D^3) となるδがある

というように
δの上限を ε の関数
ε/(|4a^3|+|6a^2|D+|4a|D^2+D^3)
として表示する必要などまったく無い

#4の場合のように

εδ式を満たす
δが
1つ

δ=ε/{ε+(1+2|a|)^3}

が存在することを示せば十分である

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/15 09:15

#1の

「
所与の ε > 0 に対して 0 < δ < ε/M の範囲に δ をとれば
｜x - a｜ = ｜h｜ < δ ⇒ ｜f(x) - f(a)｜ < ε が成り立つ。
」
は誤りで
正しくは
「
所与の ε > 0 に対して 0 < δ < min(ε/M,D) の範囲に δ をとれば
｜x - a｜ = ｜h｜ < δ ⇒ ｜f(x) - f(a)｜ < ε が成り立つ。
」
です

なぜなら

｜x - a｜ = ｜h｜ < δ < ε/M
だからといって
|h|<D
となるとは限らないから

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/15 09:26

食い下がるねえ...

計算ズラズラの答案を防衛するには、それが必要なのかな？

←No.8

No.1 の M は上限じゃなく上界だよ。

←No.9

そりゃそうだ。読んて解ることだと思うけど。