連続であることをεδ論法で証明してください

f(x)=x^4 実数上の関数fが、連続関数であることをεδ論法で示してください。
δの置き方ですごく悩んでいて、わからないので、デルタの求め方を詳しく教えてくださると嬉しいです。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 違うんですか？？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/01/14 12:39

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/14 05:50

f(x)=x^4

任意のε>0に対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}とすると
|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}<1
|x|<|a|+δ<|a|+1
x^2<(1+|a|)^2=1+2|a|+a^2
|x+a|≦|x|+|a|<1+2|a|
x^2+a^2<2a^2+2|a|+1
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}<ε/(1+2|a|+2a^2)^2
だから

|f(x)-f(a)|
=|x^4-a^4|
=|x-a||x+a||x^2+a^2|
<δ|x+a||x^2+a^2|
<δ(1+2|a|)(1+2|a|+2a^2)
<(1+2|a|)(1+2|a|+2a^2)ε/(1+2|a|+2a^2)^2
=(1+2|a|)ε/(1+2|a|+2a^2)
<ε

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 01:06

h = x - a と置いて、

｜f(x) - f(a)｜ = ｜(a+h)^4 - a^4｜
　　　　　= ｜4a^3 + 6(a^2)h + 4ah^2 + h^3｜・｜h｜
　　　　　≦ (｜4a^3｜ + ｜6a^2｜｜h｜ + ｜4a｜｜h｜^2 + ｜h｜^3)・｜h｜

D > 0 を任意に固定すると、 ｜h｜ < D の範囲で
｜4a^3｜ + ｜6a^2｜｜h｜ + ｜4a｜｜h｜^2 + ｜h｜^3
　　　　　< ｜4a^3｜ + ｜6a^2｜D + ｜4a｜D^2 + D^3
が成り立つ。
この右辺を = M と置くと、 M ≧ D^3 > 0 である。

｜(a+h)^4 - a^4｜ ≦ M・｜h｜ だから、
所与の ε > 0 に対して 0 < δ < ε/M の範囲に δ をとれば
｜x - a｜ = ｜h｜ < δ ⇒ ｜f(x) - f(a)｜ < ε が成り立つ。