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No.2
- 回答日時:
f(x)=x^4
任意のε>0に対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}とすると
|x-a|<δとなる任意のxに対して
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}<1
|x|<|a|+δ<|a|+1
x^2<(1+|a|)^2=1+2|a|+a^2
|x+a|≦|x|+|a|<1+2|a|
x^2+a^2<2a^2+2|a|+1
δ=ε/{ε+(1+2|a|+2a^2)^2}<ε/(1+2|a|+2a^2)^2
だから
|f(x)-f(a)|
=|x^4-a^4|
=|x-a||x+a||x^2+a^2|
<δ|x+a||x^2+a^2|
<δ(1+2|a|)(1+2|a|+2a^2)
<(1+2|a|)(1+2|a|+2a^2)ε/(1+2|a|+2a^2)^2
=(1+2|a|)ε/(1+2|a|+2a^2)
<ε
No.1
- 回答日時:
h = x - a と置いて、
|f(x) - f(a)| = |(a+h)^4 - a^4|
= |4a^3 + 6(a^2)h + 4ah^2 + h^3|・|h|
≦ (|4a^3| + |6a^2||h| + |4a||h|^2 + |h|^3)・|h|
D > 0 を任意に固定すると、 |h| < D の範囲で
|4a^3| + |6a^2||h| + |4a||h|^2 + |h|^3
< |4a^3| + |6a^2|D + |4a|D^2 + D^3
が成り立つ。
この右辺を = M と置くと、 M ≧ D^3 > 0 である。
|(a+h)^4 - a^4| ≦ M・|h| だから、
所与の ε > 0 に対して 0 < δ < ε/M の範囲に δ をとれば
|x - a| = |h| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε が成り立つ。
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