f(x)はすべての実数で定義され、f''(x)>0を満たす。

f(x)はすべての実数で定義され、f''(x)>0を満たす。
実数aを1つ固定して、g(x)を次のように定義する。
x=aでないときg(x)={f(x)-f(a)}/(x-a) ,x=aのときg(x)=f'(a)
このとき、g(x)は増加関数であることを示せ。

つぎのように考えましたが、途中で挫折しました。
どのような解答になるか、よろしくお願いします。

x=aでないとき、g'(x)=[f'(x)-{f(x)-f(a)}/(x-a)]/(x-a) ・・(1),x=aのときg'(x)=0・・(2)
g'(x)>=0がしめせればよいと思うのですが、ここから(1)の処理がわかりませんでした。
ただ、(1)はg'(x)=[f'(x)-g(x)]/(x-a)と変形できるところまではできました。
このことから、g''(x)=)=[f''(x)-g'(x)]/(x-a)となります。
このあとの処理が分かりません。よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/27 14:53

(1)に、質問文中の変形は行わず、

平均値定理を使う。
たいへん重要なので、馴染みが薄ければ、
教科書で確認しといたほうがいい。

平均値定理より、
f(x) - f(a) = f'(c)・(x - a) となる c が、
a ＜ c ＜ x または x ＜ c ＜ a の範囲に在る。 …(3)
これを (1) に代入して、
g'(x) =｛ f'(x) - f'(c) ｝/ (x - a)。

再度、平均値定理より、
f'(x) - f'(c) = f''(b)・(x - c) となる b が、
c ＜ b ＜ x または x ＜ b ＜ c の範囲に在る。
再度、これを代入して、
g'(x) = f''(b)・(x - c) / (x - a)。

仮定より、f''(b) ＞ 0 だし、
(3) より、(x - c) / (x - a) ＞ 0 である。
故に、g'(x) ＞ 0。

以上で、x ＞ a および x ＜ a の各範囲で
g(x) は単調増加であることが示された。
a を跨ぐ x で比較する場合は、
x1 ＜ a ＜ x2 に対して、
g(x1) ＜ g(a) と g(a) ＜ g(x2) から
判断すればよい。

その際、x→a で g(x) が連続であることを
示しておく必要がある。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
その際、x→a で g(x) が連続であることを
示しておく必要がある。

これを次のように考えました。
lim[x->a]g(x)
=lim[x->a][{f(x)-f(a)}/(x-a)]
=f'(a) （微分の定義より）
=g(a)
よってg(x)はx=aで連続。

この問題で、x=aでg(x)が連続であることが、必要なことが
あまりよく分かりませんでした。できれば補足してもらえると
ありがたいです。

お礼日時：2010/09/27 15:30

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/27 19:20

例えば、x ≠ 0 のとき F(x) = -1/x,

F(0) = 0 という関数は、
x ＞ 0 でも x ＜ 0 でも単調増加だが、
x = 0 で不連続なので、
F(1) = -1 ＜ 1 = F(-1) のようなことが起こり、
全域で単調増加ではない。

g が x = a で連続であれば、
x1 ＜ a ＜ x2 に対して、
g(x1) ＜ lim[x→a-0] g(x)
= lim[x→a+0] g(x) ＜ g(x2)
が言えるので、全実数で単調増加と判る。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
x=aで不連続だと、だめだということが
わかりました。

お礼日時：2010/09/28 09:09