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次の解析学の問題が解けないので教えていただきたいです。

関数f(x),g(x)がそれぞれ区間I,Jで一様連続であるとき、f(I) ⊂Jならば(g⚪︎f)(x)もIで一様連続であることを示せ。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

関数f,gがそれぞれ区間I,Jで一様連続であるとき、


f(I)⊂J
のとき

任意のε>0に対して
あるδ1>0が存在して
|y-b|<δ1となる任意のy,b∈Jに対して|g(y)-g(b)|<ε…(1)

δ1>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のx,a∈Iに対して
|f(x)-f(a)|<δ1
y=f(x)
b=f(a)
とすると
|y-b|<δ1だから(1)から
|g(y)-g(b)|<ε
y=f(x)
b=f(a)
だから
|g(f(x))-g(f(a))|<ε

g⚪︎fもIで一様連続
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関数f(x),g(x)がそれぞれ区間I,Jで連続であるとき


f(I) ⊂Jならば(g⚪︎f)(x)もIで連続であること
を、解析の教科書の最初のほうにあるとおりに
εδ記法で示せば、それがそのまま
一様連続に関する証明になっている。
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