
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
三次方程式f(x) がある複素数解αを持つとすると、その共役複素数~αもf(x)の解になることを示す。
f(α) = aα^3 + bα^2 + cα + d = 0
f(~α) = a(~α)^3 + b(~α)^2 + c(~α) + d
=a(~α^3) + b(~α^2) + c(~α) + d
=~aα^3 + ~bα^2 + ~cα + d
=~(aα^3 + bα^2 + cα + d)
=0
ここである三次方程式について実数解をもたないと仮定すると、
複素数とその共役複素数が解となることに矛盾する。
よって少なくとも一つは実数解となる。
No.6
- 回答日時:
あああ... No.5 は、とんでもない。
f(x)f(-x) は6次多項式で、しかも6次の係数が負( f(x)の3次の係数を a とすると -a^2 )ですから、
lim[x→+∞]f(x)f(-x) = -∞ です。
よって、十分大きい正数 R をとると f(R)f(-R) < 0 とできます。
f(R) と f(-R) が異符号で、
No.5
- 回答日時:
No.1がとても美しいが、あえて代数学の基本定理は使わない証明を書いてみます。
中間値定理の成立条件に注意しましょう。
実係数3次多項式 f(x) について、方程式 f(x)=0 を考えます。
f(x)f(-x) は6次多項式で、しかも6次の係数が正( f(x)の3次の係数の2乗 )ですから、
lim[x→+∞]f(x)f(-x) = +∞ です。
よって、十分大きい正数 R をとると f(R)f(-R) > 0 とできます。
f(R) と f(-R) が異符号で、f(x) は -R≦x≦R で連続ですから、
中間値定理より、-R<x<R の範囲に f(x)=0 となる x が存在します。
No.2
- 回答日時:
最後かなり端折ってますが、
簡単に言えば実数係数の多項式が複素数解をもつならば、複素数の解は偶数個でなければならないという事です。(複素数とその共役複素数がセットになるので)
このことから実数係数のn次方程式でnが奇数なら少なくとも一つの実数解をもつこともわかります
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