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数学についてです。
任意の3次方程式は少なくとも1つの実数解を持つことを証明してくだい。
よろしくお願いします。

A 回答 (8件)

三次方程式f(x) がある複素数解αを持つとすると、その共役複素数~αもf(x)の解になることを示す。


f(α) = aα^3 + bα^2 + cα + d = 0
f(~α) = a(~α)^3 + b(~α)^2 + c(~α) + d
=a(~α^3) + b(~α^2) + c(~α) + d
=~aα^3 + ~bα^2 + ~cα + d
=~(aα^3 + bα^2 + cα + d)
=0

ここである三次方程式について実数解をもたないと仮定すると、
複素数とその共役複素数が解となることに矛盾する。
よって少なくとも一つは実数解となる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/05/12 10:33

「i」は虚数単位です

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カルダーノの定理で


iになる確率があるのは√内(2乗根のみ)であるが
√内は正であるので
証明された
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/05/12 10:34

あああ... No.5 は、とんでもない。



f(x)f(-x) は6次多項式で、しかも6次の係数が負( f(x)の3次の係数を a とすると -a^2 )ですから、
lim[x→+∞]f(x)f(-x) = -∞ です。
よって、十分大きい正数 R をとると f(R)f(-R) < 0 とできます。
f(R) と f(-R) が異符号で、
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No.1がとても美しいが、あえて代数学の基本定理は使わない証明を書いてみます。


中間値定理の成立条件に注意しましょう。
実係数3次多項式 f(x) について、方程式 f(x)=0 を考えます。
f(x)f(-x) は6次多項式で、しかも6次の係数が正( f(x)の3次の係数の2乗 )ですから、
lim[x→+∞]f(x)f(-x) = +∞ です。
よって、十分大きい正数 R をとると f(R)f(-R) > 0 とできます。
f(R) と f(-R) が異符号で、f(x) は -R≦x≦R で連続ですから、
中間値定理より、-R<x<R の範囲に f(x)=0 となる x が存在します。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/05/12 10:34

x^3の係数が負のときも同様です。

書き忘れてすいません
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任意の三次方程式f(x)とする。

x^3の係数が正のとき、x→∞でf(x)→∞、x→-∞でf(x)→-∞です。f(x)は連続ですから中間値の定理を適用して少なくとも一つの実数解をもつことが示されました。
数Ⅲ未習でしたらごめんなさい!
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/05/12 10:34

最後かなり端折ってますが、


簡単に言えば実数係数の多項式が複素数解をもつならば、複素数の解は偶数個でなければならないという事です。(複素数とその共役複素数がセットになるので)
このことから実数係数のn次方程式でnが奇数なら少なくとも一つの実数解をもつこともわかります
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