プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術

xy平面上のy≧0の部分の領域Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積が 2Π∬Dydxdy で表せるらしいのですが、これがどうして成り立つのかが分かりません。どなたか教えてくれますか?よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

2π∬Dydxdyを知らないものとします。


領域Dがa≦x≦b、f(x)≦y≦g(x)で表わされるものとします。

領域Dをx軸のまわりに一回転して出来る回転体をx軸に垂直な
平面で切った図形の面積はπg(x)^2―πf(x)^2=π{g(x)^2―f(x)^2}
です。
これをx軸方向に積分して回転体の体積Vを求めると、
V=∫(a≦x≦b)π{g(x)^2―f(x)^2}dx
=π∫(a≦x≦b)[y^2](f(x)→g(y))dx
=π∫(a≦x≦b)∫(f(x)≦y≦g(x))2ydydx
=2π∫(a≦x≦b)∫(f(x)≦y≦g(x))ydydx
=2π∫∫Dydydx

Dが複雑な図形で、Dの境界とx軸と垂直な直線との交点が2個より
多い時は、Dを分割して考えれば良いと思います。

直感的には、Dをx軸、y軸に平行な直線たちで無限に細かい四角形た
ちに分割します。一つの小さい四角形[x,x+dx]×[y,y+dy]をx軸の回り
に1回転してできるものすごい細いパイプ状の回転体の体積は、近似的
に2πy×dxdyと考えられます。(面積dxdyの四角形を半径yの円周上に
回転)これをD全体でかき集めれば、
V=2π∫∫Dydydx

あるいは、Dの重心の座標を(x0,y0)とすると、
V=(Dの面積)×(y0の移動距離)=(Dの面積)×2πy0
もあります。(かの有名なパップス・ギュルダンの定理)
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもご丁寧に教えてくださったおかげでよく理解できました。何気ない疑問点がパップスギュルダンの定理にまでつながることが分かってビックリしました。ありがとうございます。

お礼日時:2007/02/11 04:14

Dが g(x)≦y≦f(x),a≦x≦b のとき,逐次積分で1回積分した後の式と回転体の面積の公式を比べると一致しますね。


という回答ではいけませんか。
もっと一般の図形で,ということですか?
あるいは直感的な説明ですか?

この回答への補足

ありがとうございます。確かに数式が 2π∬Dydxdy と与えられていれば1変数の回転体公式になりました。では図形的に回転体の立体が与えられて、最終的にこの式を導くためにはどのようにすればよいでしょうか?お教えくださると助かります。

補足日時:2007/02/08 17:21
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング