重積分の積分領域について D={(x,y)∈R^2 | 0≦y≦x≦∞} で表される領域で、∫[0→

重積分の積分領域について

D={(x,y)∈R^2 | 0≦y≦x≦∞} で表される領域で、∫[0→∞](∫[0→x] f(x,y) dy)dx の積分を求めるとき、

u=x+y, v=y と変数変換すると、領域は 0≦v≦u-v≦∞ となると思いますが、ここから積分範囲をどう設定すればいいのかがよく分かりません。

ご教授お願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/06 00:34

∞だとわかりにくいので、aとして∞にすればよい。

つまり

O : (0,0) → (0,0) u=x+y=0, v=y=0
A : (a,0) → (a,0) u=a+0=a, v=0
B : (a,a) → (2a,a) u=a+a=2a, v=a

領域OABの３角形は右図の３角形に移る。したがって、aは無限
だから、傾きは関係なく、J=1 なので

∫[0→∞](∫[0→u/2] f(u-v,v) dv)du

この回答へのお礼

なるほど、そのようにして積分範囲を決めるのですね。
とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2023/05/06 09:59

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/06 10:39

うん? もとの領域が 0≦y≦x<∞ で, u=x-y, v=y とおいたら

0 ≦ u < ∞
0 ≦ v < ∞
でしょ?

u と v が無関係になるから, 重積分の計算が簡単になると想像できないかな?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/06 00:08

0≦y≦x<∞ のことなのかな?

なんとなく u = x-y, v = y とおきたい気分.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

なぜ u = x-y, v = y なのでしょうか？

お礼日時：2023/05/06 10:00