高校1年、数Ⅰ 平方関数です。 aは正の定数とする。関数y＝ax²－4ax+b(0<＝x<=5)の最

高校1年、数Ⅰ 平方関数です。
aは正の定数とする。関数y＝ax²－4ax+b(0<＝x<=5)の最大値が10、最小値が1であるとき、定数a、bの値を求めよ。
教えてください。

質問者からの補足コメント

• 答えが、a＝2、b＝−3 と書いてました。
  補足遅くなりすみません。

    補足日時：2019/11/25 23:14

• すみません、答え a＝1 b＝5でした。
  あってます。

    補足日時：2019/11/25 23:16

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/25 20:43

No.1 です。

ああ、ごめん。問題文に「a は正の定数」って書いてあるね。

だったらもっと簡単だ。
#1 の a>0 のところだけを考えればよい。
一応書き直しておきます。

平方完成すれば
　y = ax^2 - 4ax + b = a(x - 2)^2 - 4a + b
従って、このグラフは、a>0 なので
・下に凸の放物線
・頂点は (2, -4a + b)
・軸は x=2
ということが分かります。

x の定義域が 0≦x≦5 なので、頂点はこの範囲に含まれます。
なので、x=2 のとき最小値になります。
また、軸 x=2 は x の定義域の「左寄り」ですから、 x=5 のときに最大になることも分かります。

以上より、x=2 のとき最小値なので
　-4a + b = 1
x=5 のとき最大になるので
　5a + b = 10
従って、
　a = 1, b = 5

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/11/25 20:42

「a は正の定数」とありますから、

問題の式の最小値は 頂点の y 座標になります。
頂点の x 座標は x=2 ですから、最大値は x=5
のときの y の値になります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/25 20:25

＞数Ⅰ 平方関数です。

って書いてあるじゃないの。
平方完成すれば

y = ax^2 - 4ax + b = a(x - 2)^2 - 4a + b

だから、このグラフは
・a>0 なら下に凸、a<0 なら上に凸の放物線、a=0 なら y 軸に平行な直線
　（最大値、最小値が存在するということは a≠0 ということが分かります）
・放物線の場合には、頂点は (2, -4a + b)
・放物線の場合には、軸は x=2
ということが分かります。

ちゃんと、a<0 のときのことも考えてね。

x の定義域が 0≦x≦5 なので、頂点はこの範囲に含まれます。
なので、x=2 のとき
・a>0 なら最小値
・a<0 なら最大値
になります。
また、軸 x=2 は x の定義域の「左寄り」ですから、最大または最小は x=5 のときになることも分かります。

a>0 のとき、x=2 のとき最小値なので
　-4a + b = 1
x=5 のとき最大になるので
　5a + b = 10
従って、
　a = 1, b = 5

a<0 のとき、x=2 のとき最大値なので
　-4a + b = 10
x=5 のとき最小になるので
　5a + b = 1
従って、
　a = -1, b = 6

以上より
　(a, b) = (1, 5) または (-1, 6)