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大学の数学の問題です。
sin^(-1)X+cos^(-1)X=π/2(-1≦x≦1)を証明せよ。

回答は画像の通りです。
回答の補足
(2.1)y=sin^(-1)↔x=siny
(2.2)-π/2≦sin^(-1)X≦π/2
(2.3)y=cos^(-1)X↔x=cosy

(2.1)と(2.2)をどう利用したらsiny=cos(π/2-y)になるんですか?
次に②の全体に+π/2をしてやると0≦ ≦πとなるのは分かるのですが、真ん中がなぜy+π/2ではないんですか?
最後に①と(2.3)をどう利用したらcos^(-1)=π/2-sin^(-1)xとなるんですか?

「大学の数学の問題です。 sin^(-1)」の質問画像

A 回答 (5件)

前回の回答の6、7、にミスが何個所かあったので、6、から書き直した。


6、
cosの基本ワザNo.5が使えるようになったら、1、で求めた式①にワザNo.5を使って答えを出して下さい。
式①の左辺と右辺を書いて、真ん中のyを省略すると⑥になる。
x=siny=cos(π/2-y)__①
x=cos(π/2-y) __⑥
ワザNo.5により右辺のcosを、=を飛び越えて左辺に移動させ、
cosをcos(-1)に替えると
cos^(-1) x=π/2-y__⑦
式①の左辺と中辺を書くと⑧となる。
x=siny__⑧
⑧にsinのワザNo.5を使って右辺のsinを、=を飛び越えて左辺に移動させ、
sinをsin^(-1)に替えると
sin^(-1) x= y__⑨
このy = sin^(-1) xを式⑦に代入すると
cos^(-1) x=π/2-sin^(-1) x__⑩
これから
sin^(-1)x+cos^(-1) x=π/2__⑪
これで、この問題が完了した。
7、
式②から式⑫を証明したのは何のためだったのか、説明されていないと思う。
-π/2≦y≦π/2__②
0≦π/2-y≦π__⑫
これは基本ワザが使えることを保証する条件です。
代数計算の基本ワザが使えるためには、逆関数が使えることが必要です。
たとえば、掛け算の基本技はNo.1カケル、No.2ワル、No.3×÷キャンセル、
No.4÷×キャンセル、No.5の移動、No.6÷の移動です。
No.1は式の両辺に同じ数を掛ける操作で、No.2は式の両辺を同じ数で割る操作です。
例として、方程式:x×3=12を解いて下さい。No.2を使って両辺を3で割ると
x×3÷3=12÷3となります。No.3は×3÷3と書いてあったら、それを消してしまいます。このワザは約分と言います。同じように、もし÷3×3と書いてあったら、それを消してしまいまうのがNo.4で、これも約分と言います。
すると、方程式はx=12÷3となりx=4と解けます。
No.5はNo.1とNo.3を一度に行う技、No.6はNo.2とNo.4を一度に行う技です。
方程式:x×3=12はNo.5を使うと、1ステップでx=12÷3となります。No.5、No.6移動のときは、×3または÷3は等号(=)を飛び越えて左辺から右辺に移動して(または右辺から左辺に移動して)、×と÷は入れ替わります。
たし算の基本技や掛け算の基本技は、逆関数があるから、うまく使えます。この時+5の逆関数は-5です。もっと正確にいうとy=x+5の逆関数はy=x-5です。また、掛け算の逆関数は割り算で、y=x×3の逆関数はy=x÷3です。逆関数が定義できるのは、y=x+5が単調関数だからです。たし算、引き算はいつも単調増加関数です。掛け算、割り算は、掛ける数がプラスなら単調増加関数、掛ける数がマイナスなら単調減少関数です。
cosの基本技がうまく使えるためには、x=cosθが単調関数であることが必要です。
またsinの基本技がうまく使えるためには、y=sinθが単調関数であることが必要です。
図でこれを調べると、角θが変化すると点Pは単位円の円周上を回転移動します。
点Pが(0, -1)から(0, 1)まで動く間は、θが-π/2からπ/2まで増加し、点Pのy座標=sinθは-1から+1まで単調増加します。それで、式②:-π/2≦θ≦π/2の条件は、y=sinθの逆関数、sin^(-1)yがうまく使える保証となります。
点Pが(1, 0)から(-1, 0)まで動く間は、θが0からπまで増加し、点Pのx座標=cosθは+1から-1まで単調減少します。それで、式⑫:0≦θ≦πの条件は、x=cosθの逆関数、cos^(-1)xがうまく使える保証となります。
8、
単調関数でないと、どんな不都合が起きるのか。
y=x^2は、x<0のとき減少関数で、x>0では増加関数であり、全体としては単調でないので、この不都合が起きる。y=x^2の逆関数はx=√yであるが、例えば方程式x^2=4を解くとx=±2となり、答えが一つに定まらない。そのため、A^2=B^2という式からA=Bという式を導くことはできない。
A^2=B^2という式からは、A=B またはA=-Bが導かれる。
「大学の数学の問題です。 sin^(-1)」の回答画像2
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この回答へのお礼

なるほど。とてもスッキリしました。貴重なお時間を私のために割いて頂き誠にありがとうございます。

お礼日時:2018/06/03 19:44

これ、x≧0 では直角三角形の直角を除く2つの内角の和は90度


と同じです。これは直角三角形を使った三角関数の定義から明らか。

x<0 の場合、arcsin x <0, arccos x > π/2
とすればこの関係は x< 0 でも保たれます。
これも図形的にゆっくり考えれば、明らかなんですけどね。
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あなたへの質問の回答ではないけど、この問題だったら、こういう解き方をすぐ思い付く。


左辺はxの値によっていろいろ変わるのに、何故か一定値(π/2)になっているので、「それなら、微分したら0になるんじゃないの?」と考えた次第。
(arcsinとarccosの微分が常に頭に入っていて、すぐに思い浮かばないと厳しいかも)

x≠±1のとき、与式の左辺をxで微分すると、
1/√(1-x²) + {-1/√(1-x²)} = 0
となり、微分が0であるから、左辺は定数である(つまり、xに無関係な一定値である)ことが判る。
したがって、左辺に例えばx=1/2を代入すると、左辺=(π/6)+(π/3)=π/2=右辺となる。

x=-1,1のときは自明。
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どうもこうも、普遍的にsinθはcos{(π/2)-θ}でしょう。


t=sinθとt=cosθとt=cos(-θ)とt={(π/2)-θ}のグラフを四つとも描いてみれば良い。
単位円やらグラフやらよく観察してみて下さい。
どうしても解らなければ、θに0、30度、45度、60度、90度、180度、-90度、など代表的な値をぶち込んでみると良い。

> ②の全体に+π/2をしてやると0≦ ≦πとなるのは分かるのですが、真ん中がなぜy+π/2

違うでしょ。
真ん中が(π/2)-yになるような操作をして下さい。
この問題の(この解き方の)ミソは、~-yの形を作ってやるところです。
間違ってはいけないのだけれど、極々自然に計算していったら(π/2)-yが出てきますよ、という話ではありません。
強引に(π/2)-y、~-yの形を目指して、それを作り上げている、結論ありきの話です。
そうすることで、sin側から出てくるyと、cos側から出てくる-yとが帳消しになるのです。

①から、x=cos{(π/2)-y}だから、cos^(-1)(x)のxにcos{(π/2)-y}を代入すれば良い。
一方で、x=sinyでもあるから、y=sin^(-1)xでもあるんで、これをyのところに代入する。

あなたの数学力は?
センター試験程度でボロボロというレベルなのか、センター試験くらいはスラスラこなしたのか。
後者とはちょっと思えませんが。逆関数の所以外は、落ち着いて考えれば中学生でもついて行けそうです。
数学力が無いのか落ち着いて無いのか。

結論ありきの話ですから、じゃぁ試験でこれが出たら解けるのか、といわれると、私は自信ないです。
極々素直に、siny=cos(y-π/2)としてドツボに嵌まるように思います。
=cos{-(y-π/2)}という発想まで出てくる自信はありません。
お題はyが消えているのだから、yはお互い打ち消し合うはずだ、とまで気づければ、cosθ=cos(-θ)みたいな発想が出てきたかもしれませんが。
しかし、解答はスラスラ理解できないと拙いでしょう。
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あなたの質問が良いから、具体的に説明することが多くて、回答が長くなった。


誠実に説明しているので頑張って読んでほしい。
1、(2.1)と(2.2)をどう利用したらsiny=cos(π/2-y)になるんですか?>
(2.1)と(2.2)を利用することはできません。これは、sin、cosの定義から出ます。
直角三角形を使った三角関数の定義を使う場合
∠Cが直角の三角形ABCがある(左側の図)。∠A=θとすると、∠B=π/2-θである。
なぜなら∠A+∠B+∠C=πに∠A=θと∠C=π/2を入れると、θ+∠B+π/2=π
これから∠Bを解く。∠B=π/2-θを∠A=θの余角という。
対辺/斜辺=CB/ABをa/c=sinθという。隣辺/斜辺=AC/ABをb/c=cosθという。
この三角形を動かして右側の図にする。角Cの位置を動かさず、裏返してAとBを入れ替える。
この図で左側の図のcosと同じ定義「隣辺/斜辺=AC/ABをb/c=cosθという」を当てはめる。
左側の図を右側の図に替えるので、隣辺はBC=bに変わる。斜辺= ABは変わらない。
AはBに変わり、BはAに変わる。θはπ/2-θに変わる。
結果は[隣辺/斜辺=BC/ABをa/c=cos(π/2-θ)という] に変わる。これから
a/c=cos(π/2-θ)=sinθがわかる。θ=yとすると求める式①となる。
x=siny=cos(π/2-y)__①
2、直角三角形を使った三角関数の定義は、θが90°以上になると使えなくなるので、
単位円を使った三角関数の定義を使う。それは次の質問に答えるのに必要になる。
単位円とは、原点を中心とする半径1の円である(下の図参照)。左側の図のsin、cosを定義する直角三角形の斜辺の長さを1になるように相似形に縮めて、下の図の単位円の中にはめ込む。斜辺ABの名前をOPに変える。点Cの名前は変えない。∠COP=θとしたとき、点Pのx座標をx=cosθ,y座標をy=sinθと定義する。この定義は前項の、直角三角形による定義と一致する。斜辺を1にしたからsinθ=対辺/斜辺=y/1、cosθ=隣辺/斜辺=x/1で、前の定義と合っている。しかし、単位円を使った三角関数の定義では、θが90°を越えても使うことができて、点Pは円周上を回転して、いくらでもでも進むことができる。またθがマイナスの時は、点Pは円周上を逆方向に進むことができる。
このとき、θをπ/2-θに変えると、θ=π/4のときは不変で、図に点線で示した斜線を対称軸として、θは線対称に折り返した位置に変る。するとx軸とy軸は入替わるので、x座標=cosθとy座標=sinθとが入れ替わり、sinはcosに変わる。折り返えすとsinθはcos(π/2-θ)にかさなる。
sin(π/2-θ)=cosθは覚えておくべき公式です。この際、ついでに、x軸で折り返したとき、y軸で折り返したときの公式もおぼえておくとよいです。
45°斜線の折り返し:θはπ/2-θになる、sinとcosは入れ替わる。
sinθの、sinをcosに替えて、θをπ/2-θに替えると、cos (π/2-θ)になる。
sin(π/2-θ)=cosθ、 cos (π/2-θ)= sinθとなる。
x軸を対称軸とする折り返し:θは-θになる。
x座標= cosθは変わらないので、cos(-θ)= cosθ。
y座標=sinθは反転するので、sin (-θ)= -sinθ
y軸で折り返し:θはπ-θになる。
x座標cosθは反転するので cos(π-θ)= -cosθ。y座標=sinθは不変だから、sin (π-θ)= sinθ
3、
次に②の全体に+π/2をしてやると0≦ ≦πとなるのは分かるのですが、真ん中がなぜy+π/2ではないんですか?>
-π/2≦y≦π/2__②
②から導かれる0≦π/2-y≦πの式は、式②の全体に+π/2をした式ではありません。
上記45°斜線の折り返しの変換を行います。sinとcosが入れ替わるこの変換を行うと、式②にある3つの数、-π/2とyとπ/2は、それぞれ、πとπ/2-yと0に変換されます。この変換後の3つの数は、変換により、大きさの順序が逆転します。変換前は-π/2とyとπ/2は小さい順に並んでいて、-π/2≦y≦π/2だったのが、変換後のπとπ/2-yと0は大きい順なので、順序を逆にして、0≦π/2-y≦πとなる。
4、
あなたの考えたやり方でやると、②の全体に-π/2をしてやると-π≦y-π/2≦0となります。この式全体に-1をかけると、式の不等号が全部反対向きになり、π≧π/2-y≧0となります。
5、
最後に①と(2.3)をどう利用したらcos^(-1)=π/2-sin^(-1)xとなるんですか?>
代数計算には6つの基本技(きほんわざ)があって、これを身に着けると計算の達人になれます。
いま必要なのはcosのNo.5ですが、初めに簡単でよく知っている、たし算の例から説明します。
No.1タス、No.2ヒク、No.3+-キャンセル、No.4-+キャンセル、No.5+の移項、No.6-の移項です。
No.1は式の両辺に同じ数をたす操作で、No.2は式の両辺から同じ数を引く操作です。
例として、方程式:x+5=8を解いて下さい。No.2を使って両辺から5を引くと
x+5-5=8-5となります。No.3は+5-5と書いてあったら、それを消してしまいます。同じように、もし-5+5と書いてあったら、それを消してしまいまうのがNo.4です。すると、方程式はx=8-5となりx=3と解けます。No.5はNo.1とNo.3を一度に行う技、No.6はNo.2とNo.4を一度に行う技です。
方程式:x+5=8はNo.5を使うと、1ステップでx=8-5となります。No.5、No.6移項のときは、+-は
等号(=)を飛び越えて左辺から右辺に移動して(または右辺から左辺に移動して)、+と-は入れ替わります。
次にcosの基本ワザを述べます。
No.1cos、No.2 cos^(-1)、No.3 cos cos^(-1)キャンセル、No.4 cos^(-1) cosキャンセル、No.5 cosの移動、No.6 cos^(-1)の移動です。
No.1は式の両辺にcosを付ける操作で、No.2は式の両辺にcos^(-1)を付ける操作です。
No.3はcos cos^(-1)と書いてあったら、それを消してしまいます。同じように、cos^(-1) cosと書いてあったら、それを消してしまいまうのがNo.4です。No.5はNo.1とNo.3を一度に行う技、No.6はNo.2とNo.4を一度に行う技です。No.5、No.6移動のときは、cosとcos^(-1)は等号(=)を飛び越えて左辺から右辺に(または右辺から左辺に)移動して、cosとcos^(-1)は入れ替えます。
[練習問題1]この技を使って、(2.3)を証明して下さい。
解答を次に示します。式(2.3)の左側の式は③です。No.1cosを使うと、④になります。
y=cos^(-1)x__③
cos y=cos cos^(-1)x__④
式④は括弧が足りないので、cos y=cos{cos^(-1)x}と書いた方が品がよいかも知れない。
No.3を使って、cos cos^(-1)と書いてあるのを消すと⑤になります。
cos y=x__⑤
またNo.6を使って、式③の右辺のcos^(-1)を左辺に移動して、cos^(-1)をcosに替えても式⑤が得られます。このワザを使うことによって、式(2.3)の矢印(↔)の右にある式x=cosyを得ることができました。ただし、x=cosyの左辺と右辺を入れ替えると⑤になります。
[練習問題2]この技を使って、(2.3)の右の式から(2.3)の左側の式③を出して下さい。
解答:初めに(2.3)の右側の式x=cosyの左辺と右辺を入れ替えると、式⑤になる。これにNo.5を使って、式⑤の左辺のcosを右辺に移動して、cosをcos^(-1)に替えると式③が得られます。
[練習問題3]この技を使って、(2.1)を証明して下さい。
ヒント、cosの基本ワザの中のcosをすべてsinに書き換えれば、sinの基本ワザになります。
6、
cosの基本ワザNo.5が使えるようになったら、1、で求めた式①にワザNo.5を使って
答えを出して下さい。
式①の左辺と右辺を書いて、真ん中のyを省略すると⑥になる。
x=siny=cos(π/2-y)__①
x=cos(π/2-y) __⑥
ワザNo.5により右辺のcosを、=を飛び越えて左辺に移動させ、cosをcos(-1)に替えると
cos(-1) x=π/2-y__⑦
式①の左辺と中辺を書くと⑧となる。
x=siny__⑧
⑧にsinのワザNo.5を使って右辺のsinを、=を飛び越えて左辺に移動させ、sinをsin (-1)に替えると
sin (-1) x= y__⑨
この= y = sin (-1) xを式⑦に代入すると
cos(-1) x=π/2-sin (-1) x__⑩
これから
sin (-1)x+cos(-1) x=π/2-__⑪
これで、この問題ができた。
7、
式②は何のために証明したのか、わかっていないと思う。
-π/2≦y≦π/2__②
これは基本ワザが使えることを保証する条件である。文字数の制限で書けないので、次の回答で述べる。


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