a>0,b>0 のとき、不等式(a+b)(1/a+1/b)≧4が成り立つ事を証明せよ。また等号が成り

a>0,b>0 のとき、不等式(a+b)(1/a+1/b)≧4が成り立つ事を証明せよ。また等号が成り立つのはどのようなときか
相乗相加の問題です。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 写真は関係ありません。すいません。

    補足日時：2019/02/04 00:37

No.5 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/02/17 13:09

＝(ａ＋ｂ){ｂ／ａｂ＋ａ／ａｂ}≧４

＝(ａ＋ｂ){(ａ＋ｂ)／ａｂ}≧４
⇔(ａ＋ｂ)^2≧４ａｂ
(ａ＋ｂ)^2－４ａｂ≧０を示せばよい。
(ａ＋ｂ)^2－４ａｂ
＝ａ^2＋ｂ^2＋２ａｂ－４ａｂ
＝ａ^2＋ｂ^2－２ａｂ
＝(ａ－ｂ)^2≧０

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/10 23:07

それぞれでも分解してからでもよい！

a/b=b/a a^2 /(ab)=b^2 /(ab)
a,b＞0から、ab＞0だから
a^2=b^2 ,(a^2ーb^2)=(a+b)(aーb)≧0 ここで、a+b＞0よりaーb≧0
すなわち 等号成立は、aーb=0 すなわち a=b の時である。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/10 23:03

それぞれでも分解してからでもよい！

a/b=b/a a^2 /(ab)=b^2 /(ab)
a,b＞0から、ab＞0だから
a^2=b^2 ,(a^2ーb^2)=(a+b)(aーb)＞0 ここで、a+b＞0よりaーb＞0
すなわち aーb＞0 ∴a＞b

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/02/09 10:38

要はa/b+b/a≧2 を示せばよい。

bを固定してaで微分すると

1/b-b/a^2 だから、1/b-b/a^2=0で最小になる。解くとa=b で式の値は2が最小。
これは任意のb(>0)で成り立っているので、証明終わり。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/04 00:43

質問と写真の問題が違うようですね。

やり方は、いろいろあります。

左辺を展開して = a/a + a/b + b/a + b/b
= 2 + a/b + b/a.
相加相乗平均の関係より、
(a/b + b/a)/2 ≧ √{(a/b)(b/a)} = 1,
等号成立は a/b = b/a のとき。
よって、左辺 ≧ 2 + 2,
等号成立は a = b のとき。

相加相乗平均の関係より、
(a + b)/2 ≧ √(ab),
等号成立は a = b のとき。
また、
(1/a + 1/b)/2 ≧ √{1/(ab)},
等号成立は 1/a = 1/b のとき。
よって、
(a + b)(1/a + 1/b) ≧ 2√(ab)・2√{1/(ab)} = 4,
等号成立は a = b かつ 1/a = 1/b のとき、
すなわち a = b のとき。

この回答へのお礼

左辺を2で割る代わりに右辺に2が掛けられた形で証明したのですが大丈夫でしょうか？

お礼日時：2019/02/04 02:01