数学Ⅱの領域の問題です。 x²+y²≦5のとき、2x+yの最大値および最小値と、そのときのx、yの値

数学Ⅱの領域の問題です。

x²+y²≦5のとき、2x+yの最大値および最小値と、そのときのx、yの値を求めよ。という問題で、

領域のどの部分を最大、最少値とすればいいのかはわかるのですが、
その求め方で、
2x+y=k とおき、y=k-2xとして、x²+y²に代入し、
そこから判別式を用いる理由がわかりません。

解説よろしくお願いいたしますm(_ _)m

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/10/09 21:24

2x+y=u, x-2y=v とおくと

u²+v²=5x²+5y²≦25=5²
u²-5²≦-v²≦0
(u+5)(u-5)≦0
-5≦u≦5
-5≦2x+y≦5

のように、円は円のままで考えると判別式は必要ありません。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/09 12:37

2x+y=k とおき、y=k-2xとして、x²+y²に代入し、

ｘ²＋４ｘ²－４ｋｘ＋ｋ²－５≦０
５ｘ²－４ｋｘ＋ｋ²－５≦０
Y=５ｘ²－４ｋｘ＋ｋ²－５とした場合Yは上に開いた放物線なので
Y≦０となる場合１つ以上の実数解がある。
実数解がある場合は判別式D≧０
D=１６ｋ²－２０ｋ²＋１００≧０
ー４ｋ²＋１００≧０
（－２ｋ＋１０）（２ｋ＋１０）≧０
から、－５≦ｋ≦５
従って、2x+yの最大値５および最小値－５
と言うことでんな。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/09 10:57

問題は、領域：x²+y²≦5が示す円周及び円内に存在する点の座標を2x+yに代入した時に、（ｋの）最大値及び最小値がいくつになるかと言う意味ですよね！

図を書くかイメージしてもらえば分かりますが、2x+y(=k)に領域内の点の座標を代入したいということは
直線：2x+y=k⇔y=k-2xが
円：x²+y²=5　に接するか、または円を切り取る（円を2つに分ける位置を直線が通る）ようでないといけません
というのも、直線上にある点しかy=k-2xに代入することができないから、直線が領域を通過または接する状態でないといけないのです
そして、kが最大及び最小になるのは図から直線が円に接するときです
x²+y²＝5…①とy=k-2x…②を連立方程式と見て②を①に代入すれば、これは２者の交点のx座標を求める式となりますから、接する条件は判別式でいえばD=0　となるのです