nを自然数とする。 3辺の長さが自然数であり、かつ最大辺の長さがnである三角形は何個あるか。ただし、

nを自然数とする。
3辺の長さが自然数であり、かつ最大辺の長さがnである三角形は何個あるか。ただし、合同な三角形は区別しないものとする。


どなたか解説してほしいです

No.3 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/10/10 14:49

そっか、

辺をn,m,lとした場合、m+l>nでないといけないのか、、、失礼しました。
もう一回三角形ひいてもいいけど、複雑になっちゃうので、

n=9の時は
9-9・・・9-1　9個
8-8・・・8-2　7個
7-7・・・7-3　5個
6-6・・・6-4　3個
5-4　　　　　 1個
なので、
奇数時[ｍ＝1　to (n+1)/2]Σ (2m-1)

n=8の時は
8-8・・・8-1　8個
7-7・・・7-2　6個
6-6・・・6-3　4個
5-5・・・5-4　2個
4-4 1個
なので、
偶数時{[m=1 to n/2]Σ2ｍ}+1

などとしても、できるかな？
（No2さんと同じになるのかな）

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/10/10 15:35

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2019/10/10 14:22

n=3 の場合を考えてみると

三角形の三辺が a,b,3 で、1≦ a,b ≦ 3
これに三角形になる条件「二辺の和は他の一辺より長い」を考えると
a=1 で b=3
a=2 で b=2,3
a=3 で b=1,2,3　の6個

合同な三角形は区別しないので　(a,b)=(2,2),(3,3) 以外の4個は重複するから実質2個
つまりn=3 では　((6-2)/2)+2 の4個　((6-2)/2)+2 の計算式は (6+2)/2 としても良い


これをもとに n の場合を考える

合同な三角形を区別する場合は、n(n+1)/2
他に合同な三角形を持たない個数は　nが偶数ならば(n/2)、nが奇数ならば(n+1)/2

したがって
合同な三角形を区別しないの場合
n が偶数のとき　((n(n+1)/2) + (n/2))/2 = n(n+2)/4
n が奇数のとき　(n(n+1)/2) + ((n+1)/2))/2 =((n+1)^2)/4

n=3での計算結果は4となり上の考察に一致
リストアップすれば　(1,3,3), (2,2,3), (2,3,3), (3,3,3)

この回答へのお礼

本当にありがとうございます！！

お礼日時：2019/10/10 15:35

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/10/10 13:40

（n²+ｎ）/2　かな？

ｎ＝9の時に、掛け算の九九の表の裏返し無しバージョン三角形をイメージすると、わかりやすいかも
（1ｘ2はありで、2ｘ1はなしみたいなこと）
9x9の表をを斜めに半分にすると、m　x　m　m∈Z　m≼ｎ　(1ｘ1、2ｘ2、3ｘ3、...9x9）も半分になっちゃうから、 n(9)足してから半分にしてやる(ｎの半分を足してやると)とちょうどいい。　

全部リストアップするとすれば、、、
9,9
9,8
9,7
・・・
2,2
2,1
1,1
ということになる