プロが教えるわが家の防犯対策術!

11x+15y=100の整数解をすべて求めよ。

解答では特殊解をx=5,y=3として典型的作業を行って、最後の解答をx=15k+5,y=-11k+3(kは整数)としているのですが、
そうではなく、
11x+15y=1の特殊解をx=-4,y=3としてこの整数解を一旦x=15k-4,y=-11k+3と出して、これに100掛けて、x=1500k-400,y=-1100k+300という答えにするのはまずいですか?

A 回答 (6件)

この様な式の 特殊解は自然数で求めるのが普通です。



処で、11x+15y=1 って、何で右辺だけを 100分の1 にするの?
で、代入して移項した式の右辺だけを 100 倍するって、メチャクチャでしょ。

x=-4, y=3 では、元の 11x+15y=100 は満足しませんよね。
又、11x+15y=1 は満足しても、100倍した x=1500k-400, y=-1100k+300 は、ダメですよね。
    • good
    • 0

>>ちなみに解答には特殊解の求め方が記されていませんでした。


直感かユークリッドの互除法を使って、最も小さいx,yの絶対値の特殊解を求めれば、自然と正解になります。

11x+15y=1の特殊解を100倍して1100x+1500y=100としてしまうと、1100と1500が互いに素であると言う前提での解法が成り立ちません。
両方に2・2・5・5と言う共通因数がある訳だから、x=1500k-400,y=-1100k+300とはならない。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

2度目の質問へのご回答、本当にありがとうございます。

絶対値が最小のものが適当な答えになるのですね。今後、確認するようにします。

後半部分がなかなか理解できなかったので申し訳ないです。
私はあくまでも、
「11x+15y=1の」整数解として、
x=15k-4,y=-11k+3を求め、
「11x+15y=100の」「整数解」として、先述の整数解を100倍したもの、つまり
x=1500k-400,y=-1100k+300
を得ました。
ですので、互いに素であることの確認が必要である解法を経たつもりがないのです。

しかし、もしその解法(しかもx=-4,y=3にこだわる)を経るのであれば、t_fumiakiさんのご指摘のとおり互いに素であることに注意して、
11x+15y=100(11と15は互いに素)の特殊解を(絶対値は最小ではありませんが)x=-400,y=300とし、整数解をx=15k-400,y=-11k+300
とするべきだと思いました。

数学が苦手な私のとんちんかんな質問に皆さんから丁寧なご回答をいただき、ありがとうございました!

お礼日時:2018/03/05 00:07

まずいでしょう。


x=1500k-400,y=-1100k+300だったら、k=1,2,3と置いても、(x,y)=(5,3),(20,-7)・・・などの細かい値が表現できないでしょう?

つまり、
x=15k+5,y=-11k+3(kは整数)ならx=1500k-400,y=-1100k+300も含むけど、x=1500k-400,y=-1100k+300とすると、x=15k+5,y=-11k+3(kは整数)を含まない事が起きてしまう。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

求めた答えが、1番細かい値を表現できる一般解であることを確認する方法はありますでしょうか?x=1500k-400,y=-1100k+300は流石に違うだろうな、と思えますが(^^;

質問の問題の場合は
11x+15y=100
⇔11x+(11+4)y=100
⇔11(x+y)=4(25-y)
∴x=15k-25,y=-11k+25(kは整数)
というようにすれば間違いはないでしょうか。
(この場合の一般解の表現は始めの解答とは異なってますが、k=1のときは同じ一般解を示しますし、k=0のときは始めの一般解のk=2のときに対応しています)

ちなみに解答には特殊解の求め方が記されていませんでした。

重ねての質問、申し訳ないです。回答いただけると大変嬉しいです。

お礼日時:2018/03/03 18:32

結論だけ言えばまずい。


1500k-400という一般解の中に5という特殊解が含まれていない。そんな一般解は解として意味をなしていない。
    • good
    • 0

整数解に限られているので、負の整数解が無いことを証明するのが大変。

    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私の解釈が間違っていたらすみません、求められてるのは自然数ではないので、その点は大丈夫じゃないでしょうか?

お礼日時:2018/03/03 13:12

高1です。


そのやり方もありだと思います。特殊解はいくつかあるので大丈夫です。学校の先生も言ってましたよ!
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!