xについての方程式 9^x + 2a・3^x + 2a^2 + a - 6=0 が正の解、負の解を一

xについての方程式 9^x + 2a・3^x + 2a^2 + a - 6=0 が正の解、負の解を一つずつ持っとき、定数aのとる値の範囲を答えよ。

解答解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 理解できました！ありがとうございました！

    補足日時：2017/10/12 07:51

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/10/11 18:59

X=3^x とおくと

9^x+2a･3^x+2a^2+a-6=0　･････ ①
(3^x)^2+2a･3^x+2a^2+a-6=0
X^2+2aX+2a^2+a-6=0　･････ ②

f(X)=X^2+2aX+2a^2+a-6　･････ ③
=(X+a)^2+a^2+a-6

y=f(X) は、軸が直線 X=-a で下に凸の放物線

方程式①が、　正の解、負の解を１つずつもつとき、
方程式②が、　１<X を満たす解と、0<X<1 を満たす解を１つずつもつ
から
放物線③について、
f(0)>0
かつ
f(1)<0
になればよい。

f(0)>0 より
2a^2+a-6>0
(2a-3)(a+2)>0
a<-2, 3/2<a　｡｡｡｡｡ ④

f(1)<0 より
1+2a+2a^2+a-6<0
2a^2+3a-5<0
(2a+5)(a-1)<0
-5/2<a<1　･････ ⑤

④、⑤より
-5/2<a<-2



X=3^x は指数関数
点(0. 1) を通る右上がりのグラフ

方程式①が、正の解をもつとき　x>0
このとき,
3>1 だから　3^x>3^0　つまり　X>1

方程式①が、負の解をもつとき　x<0
このとき
3>1 だから　3^x<3^0　つまり　0<X<1

この回答へのお礼

f（0）>0 かつ f（1）<0 になるまでのくだりがよくわからないのですが、詳しく説明していただけないでしょうか？

お礼日時：2017/10/11 23:33

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/10/12 07:48

X=3^x と y=f(X) のグラフと、

答えの下の説明でわかると思うのですが・・・


9^x+2a･3^x+2a^2+a-6=0　･････ ①
が正の解 α をもつとき、
X=3^x とおくと
X=3^α>3^0=1　･････（ア）
負の解 β をもつとき
X=3^β<3^0=1
X>0 より
0<X<1　･････（イ）

（ア）、（イ）より
X^2+2aX+2a^2+a-6=0　･････ ②
が、X>1　と　0<X<1　の範囲で１つずつ解をもとことになり

これから、
y=f(X)=X^2+2aX+2a^2+a-6　･････ ③
=(X+a)^2+a^2+a-6
は、軸が　X=-a　の下に凸の放物線だから
y=f(X) が　X軸(横軸)とX>1　と　0<X<1　の範囲で１つずつ交わる条件は
f(0)>0　かつ　f(1)<0
になる。

グラフをかいて確認してください