p,qを正の整数とする。 x^2-px+q=0. x^2-q x+p=0 の解が全て整数になる時、

p,qを正の整数とする。
x^2-px+q=0. x^2-q x+p=0
の解が全て整数になる時、
(1)p=qのとき、pを全て求めよ。
(2)p≠qのとき、p,qを全て求めよ。

どなたか解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/09/05 23:04

とりあえず、(1)は簡単。

x²-px+p=0の解は{p±√(p²-4p)}/2であり、これが整数になるためには、
少なくともルートが外れる必要があるから、p²-4pは平方数であり、mを整数として、p²-4p=m²となる。
すると、解は、(p±m)/2であり、(p+m)/2、(p-m)/2がともに整数だから、p+mとp-mはともに偶数。

よって、a,bを整数として、p+m=2a、p-m=2bと表すことができ、辺々足して、2p=2a+2bだからp=a+b

一方、p²-4p=m²より、p²-m²=4pとなるから、(p+m)(p-m)=4pであり、左辺は2a･2bだから、2a･2b=4p。すなわち、ab=p

以上により、p=a+b=abだから、ab=a+bで、ab-a-b=0より、(a-1)(b-1)=1となる。
a-1、b-1はともに整数だから、(a-1,b-1)=(1,1)又は(-1,-1)となり、(a,b)=(2,2)又は(0,0)となる。
すると、p=a+b=4,0であるが、pは正だからp=0は不適で、p=4である。

逆に、このとき、与式はx²-4x+4=0であり、この解はx=2(重解)であるから、題意を満たす。よって、p=4

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/09/05 23:06