2次関数の最大最小問題です aは定数とする。関数y=-x^2+4ax-a(0≦x≦2)について最大値

2次関数の最大最小問題です
aは定数とする。関数y=-x^2+4ax-a(0≦x≦2)について最大値最小値を求めよ
という問題でなぜ最小値を区間内の真ん中の値で場合分けして考えるのかがわかりません

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/10/09 12:46

>>区間内の真ん中の値で場合分け

グラフを描いてみれば解る。
2次関数グラフは軸に対して左右対称形。
y=-x²+4ax-a=-(x-2a)²+4a²+a
軸はx=2a

xが区間内の中間である1より左だったら、最小値はx=2の側。
1より右だったら、最小値はx=0の側。

下図を参考に。

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2021/10/09 13:54

二次関数の最大最小を考える時は、

その函数のグラフを 書いてみて下さい。
（慣れてくれば、頭の中で 想像するだけで よいです。）
y=-x²+4ax-a は 上に凸な 放物線であることが 分かります。
そして 軸が x=2a となる事も分かる筈です。
従って 軸が 0≦x≦2 のときは 頂点の y 座標が最大になり、
軸から より離れている x の値のときの y の値が 最小になります。
又、軸が 0≦x≦2 の範囲外のときは、x=0 と x=2 を比べて、
軸の近い方が 最大、軸から遠い方が 最小 になります。

分かり難かったら 具体的に a=0, a=1, a=2 等として
グラフを実際に書いてみると 理解できると思いますよ。
（教科書の 例題に 似た様な問題の解説が 無いでしょうか。）