A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
まず定数aが3だと仮定しましょう
このとき y=-x²+12x-3⇔y=-(x-6)²+33・…①
ですからそのグラフの頂点は(6,33)で 定義域の外(右側)ということになりますよね
①のグラフは上に凸なので、定義域の中のグラフは頂点により近い
x=2の位置でもっとも高くなり
x=2で最大値となることがわかります
次に、aが2だと仮定します
このとき y=-x²+8x-2⇔y=-(x-4)²+14
ですからそのグラフの頂点は(4,14)で 定義域の外(右側)
グラフは上に凸なので、a=2のときも頂点により近い
x=2で最大値となることがわかります
今度は aが1/2だと仮定します
このとき y=-x²+2x-(1/2)⇔y=-(x-1)²+(1/2)
ですからそのグラフの頂点は(1,1/2)で 定義域の中にあるということになりますよね
下に凸のグラフでは 頂点が最も高くなるので
a=1/2の場合は
頂点のx=1で最大値y=1/2となることがわかります
もう一つおまけに
aが-1だと仮定します
このとき y=-x²-4x+1⇔y=-(x+2)²+5
ですからそのグラフの頂点は(-2,5)で 定義域の外(左側)ということになりますよね
ゆえに定義域の中ではグラフは頂点により近い
x=0の位置でもっとも高くなり
x=0で最大値となることがわかります
このように定数aが実際にどんな数字であるか決めると頂点の位置が変わるのです(今回はaが小さくなるほどその位置は左へ移ります)
aの値の違いに連動して頂点の位置が変わり、ゆえに最大値をとる場所が変わってくるのです
そこで、場合分けです
冒頭2例のように、x=2で最大となるケース(定義域の右に頂点)…②
その次の例のように、頂点で最大となるケース(定義域の中に頂点)…③
最後の例のようにx=0で最大となるケース(頂点は定義域の左側)…④
に分けるのです
-x²+4ax-a=-(x-2a)²+4a²-aですから
もじaに数字を当てはめないでそのままにした場合は
2次関数の式は
y=-(x-2a)²+4a²-aとなり
頂点のx座標はx=2aであることがわかります
②であるケースとは、頂点のx座標:2aが2よりも大きいケースです
これを文字式にすれば 2<2a⇔1<aですから
1<aのときはx=2で最大となり
x=2代入で y=-2²+4a・2-a=7a-4 これが最大値となります
➂であるケースとは、頂点のx座標:2aが0から2の間にあるケースです
これを文字式にすれば 0≦2a≦2⇔0≦a≦1ですから
このときは頂点⇔x=2aで最大となり
x=2a代入で y=-(2a-2a)²+4a²-a=4a²-a これが最大値となります
(むろん計算なしに 頂点のy座標:4a²-aが最大値と判断しても良いです)
④であるケースとは、頂点のx座標:2aが0よりも小さいケースです
これを文字式にすれば 2a<0⇔a<0ですから
a<0のときはx=0で最大となり
x=0代入で y=-0²+4a・0-a=-a これが最大値となります
No.3
- 回答日時:
y=-x²+4ax-a は グラフに書くと、
上に凸な 放物線になる事は 分かりますね。
頂点座標を求めるために 平方完成します。
-x²+4ax-a=-(x²-4ax)-a=-(x-2a)²+4a²-a 。
で、 頂点座標は (2a, 4a²-a) となります。
つまり x=2a のときに 最大値 4a²-a となります。
0≦x≦2 ですから 0≦2a≦2 で 0≦a≦1 となります。
x=0 のときは 元のから y=-a となります。
x=2a のときは 頂点座標の 4a²-a となり、
x=2 のときは 元の式から y=7a-4 となります。
No.2
- 回答日時:
型どおりの問題ですね。
上凸な二次関数の最大値は、二次関数の軸が
・定義域より小さい範囲にある
・定義域に含まれる
・定義域より大きい範囲にある
の3つに場合分けして処理します。
y = - x^2 + 4ax - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a については、
・ 2a < 0
・ 0 ≦ 2a ≦ 2
・ 2 < 2a
に場合分けすればよいです。
y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a のグラフを考えて
2a < 0 のとき、 x = 0 で最大値,
0 ≦ 2a ≦ 2 のとき x = 2a で最大値,
2 < 2a のとき x = 2 で最大値
であることを見つければ、
あとは式を整理して質問文中の答えのようになります。
No.1
- 回答日時:
y=−x^2+4ax−a (0≦x≦2)の最大値
y=−x^2+4ax−a ← 強引に平方完成させる
=-(x^2-2(2a)x+4a^2) +4a^2-a
=-(x-2a)^2 +4a^2-a 頂点(2a,4a^2-a)
0≦a≦1の時 → 即ち、0≦x≦2 この範囲に軸が存在する時 最大値=4a^2-a
ここまでは理解しやすいです。
a<0の時 x=0と考えyにx=0を代入し 最大値 -a
1<aの時 x=2と考えyにx=2を代入し 最大値 7a-4
としている。 a<0 と 1<a の時は、平方完成した時、0≦x≦2
という最初に提示されている xの範囲外となるため、そのまま x=0とx=2をyに代入して最大値を求めています。
ちょっと問題自体が微妙な出来である感じがします、明快さに欠けているので、腑に落ちないもやもやの部分が残りますね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 関数のグラフ 5 2023/07/20 23:57
- 数学 ラグランジュの未定乗数法を用いる問題 3 2023/05/15 14:48
- 数学 【高1 数学Ⅰ 二次関数】 二次関数 f(x)=x^2-4ax+8a がある。ただし、aは正の定数と 3 2022/07/23 15:46
- 数学 【 数I 2次関数 最大・最小 】 問題:関数y=x²+2x+c (-2≦x≦2)の最大値 が5であ 3 2022/06/19 08:41
- 数学 数学 2時間数に関わる問題について教えてください。 x≧1 y≧-1 2x+y=5 であるとき、xy 7 2022/10/29 10:57
- 数学 数学の問題の解き方を教えてください! 3 2022/11/02 17:32
- 数学 【 数学 一次関数 】 問題 f(1)=-7,f(3)=-13を満たす1次関数f(x)を求めよ。 疑 4 2022/10/23 17:50
- 数学 【 数I 2次関数の最大値・最小値 】 問題 関数y=-x²+1 (1≦x≦3)の 最大値と最小値を 2 2022/06/28 17:49
- 数学 中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。 1問だけでも教えていただけると嬉しいです。 (1) 4 2022/08/01 10:19
- 数学 数学の問題が分かりません! 次の関数y=f(x)の逆関数y=f^-1(x)を求めよ. ※答えが2次関 3 2023/06/22 19:22
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
aは正の定数とする。関数y=x²...
-
高校数学の問題の解説をお願い...
-
青チャートの問題ですが
-
2次不等式の問題です ax^2-3ax+...
-
数学の問題です f(x)=ax^2−4αx...
-
【至急】 x²-(a-3)x+2a+4=0が正...
-
aを定数とし、二次関数 f(x)−...
-
Y=x2乗+2x+3の頂点と対称軸...
-
解の存在範囲がわかりません
-
2次関数最大最小について。
-
0≦x≦8のすべてのxについて、不...
-
数学I y=x^2-2ax+aのグラフとx...
-
散布グラフのサイズの適正化
-
AB=2dとなる理由を教えてください
-
2次関数の最大最小の問題で
-
二次方程式でわからない問題が...
-
y=-x^2+2x+3の平方完成について...
-
数学Iについて質問です。 下の...
-
エクセルで三次関数をつくりた...
-
数学1 二次関数 y=x^4+4x^3+5x...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
aは正の定数とする。関数y=x²...
-
平方完成のやり方を教えてくだ...
-
y=-x^2+2x+3の平方完成について...
-
数Ⅰを教えて欲しいです。 問、a...
-
-2(x-2)²+4の軸と頂点を教えて...
-
高校数学の問題の解説をお願い...
-
【至急】 x²-(a-3)x+2a+4=0が正...
-
不等式で表される領域が分かり...
-
y=ax^2+bx+cにおいて、a,b,cの...
-
エクセルで三次関数をつくりた...
-
上に凸の条件
-
2次関数y=x^2-2ax+2a^2-5のグラ...
-
数学の問題
-
数学の問題の解き方を教えて下さい
-
数3微分の応用・極値について
-
まずどうやって解いていったら...
-
(数B、数列) (2)でこのような解...
-
2次関数y=(x+2)2乗-3の最大...
-
二次関数で、定義域の右側のみ...
-
二次導関数より変曲点を求める
おすすめ情報
皆さんありがとうございます!(≧∇≦)
ちょっと最近時間があんまりなくいので、時間がある時にじっくり見させていただきます!!m(_ _)m