2次関数最大最小について。

Question

次の問題で、最小値も定義域の中央で、考えても良いのではないでしょうか？なぜ、そうしていないのでしょうか？教えていただけると幸いです。本当にすみません。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11103714.html

ありものがたり · Accepted Answer

＞なぜ、2つに場合分けしても大丈夫なのでしょうか？

それを、No.5で説明したんですがね。いろいろがっかりです。

自分の手で、
[1]軸が定義域の左外にある場合
[2]軸が定義域内で中央より左にある場合
[3]軸が定義域内で中央より右にある場合
[4]軸が定義域の右外にある場合
に場合分けした二次関数のグラフを描いて、
最小値がどこにあるか確認しましょう。

[2][3]の場合にどちらも 最小値=f(軸) となって、
[1]軸が定義域の左外にある場合
[2+3]軸が定義域内にある場合
[4]軸が定義域の右外にある場合
に場合分けしてあれば十分だったことが判るはずです。

場合分けは、必要なだけ分割していなければ答えが出ませんが、
十分以上に分割しても、無駄な手間がかかるだけで正解は出ます。

masterkoto · Answer

＃１補足
グラフをイメージしながら（見ながら）読んでください
2次関数のグラフは放物線で、リンク先のものは頂点が一番低くなる（ｙ座標が最小となる）下に凸の形状です。
グラフの特徴として、頂点に近づくほどグラフが低くなり（ｙ座標が小さくなり）、頂点から遠ざかるほどグラフが高くなります（ｙ座標が大きくなります）。

言うまでもなく、定義域がある場合、グラフは定義域以外の部分を消して考えなくてはなりません。
だから、問題のような幅が一定の定義域がある場合、
最大値は頂点からより遠いところで取ります。
特殊な場合として頂点が定義域のちょうど中間にある場合、定義域の左端と、右端は、それぞれ頂点からの距離が等しくなり、共に定義域内で頂点からの距離が最も離れた位置になります。だから、グラフの高さは定義域の両端で等しくなり、定義域の両端でグラフは最も高くなります。
定義域がこの特殊な時よりも、少しでも左にズレれば、バランスが崩れて、定義域内で頂点から最も遠くなるのは、定義域の左端となります。→従って最大値は定義域の左端になります。
反対に定義域が少しでも右にズレれば、頂点から最も遠くなるのは、定義域の右端となり、最大値は定義域の右端になります。
このことから、分水嶺は定義域の中央に頂点がある場合と言え、このケースを境に最大値を取る場所が左端のみや右端のみに変わるのです。→従ってmaxの場合分けの分岐点は定義域の中央に頂点（軸）が来るケース

一方、最小値について、
グラフの最も低いところが最小だから、頂点が最小で、
定義域内に頂点が含まれるなら、問答無用に最小値は頂点で取ります。
maxのときとは違って、必ずしも頂点が定義域の中央になくても、最小値は頂点で取ることになるのです。
この状態から、定義域を徐々に左へスライドさせていくと、やがて頂点は定義域の外に出てしまいます（定義域の右側に頂点があるケース）、
このケースでは、（定義域外の）頂点が最小となることはできません。
前に述べた通り、より頂点に近い定義域の右端でグラフが最も低くなるので、定義域内の最小値は右端で取ることになります。
反対に定義域を徐々に右へスライドさせても、やがて頂点は定義域の外に出てしまいます（定義域の左側に頂点があるケース）
今度は、より頂点に近い定義域の左端でグラフが最も低くなるので、定義域内の最小値は左端で取ることになります。

このように、最小値の分岐点は、頂点（軸）が定義域の中にあるかどうかという事で、軸が定義域の中央にあるかどうかではないのです。
（定義域の外に頂点がある場合については更に2つに場合分けします）
だから、maxのときとは状況が異なるのです。

ありものがたり · Answer

そのリンク先の質問で、最小値を考えるときには軸と定義域の中央を比べる必要はない
と再三回答したんだけれど、まだそんなことを言っているのですね。がっかりです。

場合分けというのは、分け方が足りないと、状況の違うものがゴッチャになってマズイのだけれど、
必要以上に分けるぶんには、あとでその分割が無駄だったことが判るだけで、問題は生じません。

下凸二次関数の最小値を考えるときには、軸が定義域の左外か、定義域内か、右外か
だけ考えれば十分だけれど、軸が定義域内にある場合を、軸が定義域の中央より左の場合と
軸が定義域の中央より右の場合に分けたところで、答案に同じこと書いた行が数行生じるだけで
答えに違いは出ません。無駄だけれど、間違ってはいないのです。

しかし、場合分けの全体を、
軸が定義域の中央より左、軸が定義域の中央に一致、軸が定義域の中央より右
の3分割にしてしまったら、軸が定義域の中央より左という場合の中に
軸が定義域の左外で最小値は f(定義域左端) になる場合と
軸が定義域内の定義域中央より左で最小値は f(軸) になる場合とが
両方含まれてしまっていますから、それでは分け方が足りません。

t_fumiaki · Answer

>>そのようには、見えません。
だ・か・ら、定義域の中央が最小値になるなんて事は無いよ、って事。

下に凸の場合は、

定義域の外側に軸(頂点)がある場合には、定義域の左又は右が最小値になる。
(定義域内で単調増加なら、定義域の左が最小。単調減少なら右が最小)

定義域内に軸が有る場合は、軸(頂点)が最小。

上に凸、下に凸、頂点と定義域の関係で色々変わるから、結局、場合分けしないと、どこが最小になるかなんて言えない。

angkor_h · Answer

定義域を設問者が任意に定められるならば、
その中央が極限値という保証はありません。
例えば、極限値を含まない範囲では、
定義域の両端が最小/最大値になります。

t_fumiaki · Answer

下のグラフで、定義域の中央の赤●が、赤線内での最小値になってる様に見える？

見えるんだったら、以後、それでも構わない。

masterkoto · Answer

まず、定義域を意識しないでグラフを書く！
次に定義域を意識する。
リンク先の問題なら定義域の左端がx=a,右端がx=a+2
aは色々な値を取り得るが、共通して定義域の幅は(a+2)-a=2
そこで、幅が２の色つきセロハンでも用意して、グラフ上を左から右までスライドさせてみることをイメージ（実際に動かせばなお分かりやすい）
すると、セロファン（の色で明確になった定義域）の位置によって、最大値や最小値を取る場所が異なることが分かります。
→セロハンを置く位置（定義域）の違いによって、
・定義域の左端で最小を取ったり、
・右端で最小を取ったり、
または、
・定義域内にグラフノ頂点があるので、（定義域の端ではなく）頂点で最小を取ったりと
いくつかのパターンに分かれます。
そこで、パターンごとに場合わけして考えるのです。
ちなみに、定義域の中央が最小となるのは、頂点が定義域の中央にくるという特殊なときだけで
これは「定義域内にグラフノ頂点があるので、頂点で最小を取る」というパターンの内の1つ
このように、グラフから判断しましょう

2次関数最大最小について。

＞なぜ、2つに場合分けしても大丈夫なのでしょうか？

＃１補足

そのリンク先の質問で、最小値を考えるときには軸と定義域の中央を比べる必要はない

>>そのようには、見えません。

定義域を設問者が任意に定められるならば、

下のグラフで、定義域の中央の赤●が、赤線内での最小値になってる様に見える？

まず、定義域を意識しないでグラフを書く！

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