数II 微分積分 問 a≧0とする。関数f(x)=|x³-3a²x|の0≦x≦1における最大値M(a

数II 微分積分

問　a≧0とする。関数f(x)=|x³-3a²x|の0≦x≦1における最大値M(a)を求めよ。また、M(a)を最小にするaの値とその最小値を求めよ。

答　最大値M(a)
0≦a<1/2のときM(a)=1-3a²
1/2≦a≦1のときM(a)=2a³
1<aのときM(a)=3a²-1

M(a)を最小にするaの値とその最小値
　　 a=1/2のとき最小値1/4

この問題の答えの導き方が分かりません。なのでどなたか解法を詳しく教えて頂けると嬉しいです。おねがいします！

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/02 23:06

まずは、y=x³－3a²x のグラフをかきます。

y'=3x²－3a²=3(x+a)(x-a)
増減表をつくります。
y=x³－3a²x=x(x+√3a)(x-√3a)
x軸との交点のx座標は、x=0 , -√3a , √3a
このグラフをかき、ｙが負の部分はx軸に関して対称移動すると y=|x³－3a²x| のグラフになります。

ｘ≧０のとき、y=|x³－3a²x| のグラフ
x=0 のとき、y=0
x=0 から x=a まで増加し、x=a のとき、y=2a³
x=a から x=√3a まで減少し、x=√3aのとき、y=0
x=√3a からは増加（x=2a のとき、y=2a³）
（ x³－3a²x=2a³ とおいて、この式を整理して因数定理を利用して、
　(x+a)²(x-2a)=0　x≧0 より、x=2a)

問題は、0≦ｘ≦１における f(x)=|x³－3a²x| の最大値なので、x=1 の場所がこのグラフのどこにあるかで最大値が変わります。
[1] 1<a のとき、0≦ｘ≦１で y=f(x) のグラフは単調増加なので、x=1 のとき最大値をとります。M(a)=f(1)=|1－3a²|=3a²－1

[2] a≦1 のとき、最大値となる可能性があるのは、f(a)=f(2a)=2a³か、2a<1 のときは、それよりも f(1) の方が大きくなります。よって、次の2つの場合に分かれます。
（ⅰ）2a<1 のとき、つまり、0≦a<1/2 のとき、M(a)=f(1)=|1－3a²|=1－3a²
（ⅱ）1/2≦a≦1 のとき、M(a)=f(a)=2a³


(1) 0≦a<1/2 のとき、M(a)=1－3a²
(2) 1/2≦a≦1 のとき、M(a)=2a³
(3) 1<a のとき、M(a)=3a²－1

このグラフをかきます。（簡単な2次関数、3次関数なのでこのままかいてつなげます）
a=0 のとき、M(0)=1
a=0 から a=1/2 まで減少し、a=1/2 のとき、M(1/2)=1/4
a=1/2 からは増加 (a=1 のとき、M(1)=2 )

したがって、M(a)の最小値は 1/4 (a=1/2 のとき)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！とても分かりやすかったので疑問解決できました！

お礼日時：2021/01/09 17:17