不等式で表される領域が分かりません

Question

ｙ＝-２ｘ＾２－４ｘ

詳しく図つきで説明してもらえると。嬉しいです。

okwaveko · Accepted Answer

質問文のは、唯の放物線(上に凸)。

y=-2x^2-4x=-2(x^2+2x)=-2(x+1)^2+2だから
頂点：(-1、2)........間違えないでねっ !!
y切片は0、x=0 & -2 の時、yの値は0
上の放物線は第1象限には存在しません(=詰まり、通りません)、但し原点(0、0)は通りますがね。

不等式で表される領域：2っつ在ります
Ａ：y>-2x^2-4x.......y=-2x^2-4xより上の斜線の部分
Ｂ：y<-2x^2-4x.......y=-2x^2-4xより下の斜線の部分

Ａの場合：
y>-2x^2-4ｘ=-2(x^2+2x)=-2(x+1)^2+2
例として、点(1、2)や(-2、4)、(-4、-1)、(2、-1)等は確かに斜線の領域に在りますね。夫々(x、y)の値を代入してみて下さい。ちゃんと、y>-2x^2-4xに成ってるでしょう ? 例えば(1、2)の場合、x=1代入すると、右辺の値は「-6」、左辺 y は「2」で [ 2 > -6 ]で正しいですね。

Bの場合：
y<-2x^2-4x=-2(x^2+2x)=-2(x+1)^2+2
例として、点(-1、1)や、(-2、-2)、(1、-7)等は斜線の領域に在りますね、上と同じ様に代入して下さい。ちゃんと、y<-2x^2-4xに成ってるでしょう ?

okwaveko · Answer

PS、補足拝見っ !!
(PC・スマホ版)
y = - 2χ² - 4χ = - 2 (χ² + 2χ) = - 2 (χ+ 1) ² + 2
(携帯版)
y =- 2 x^2 - 4 x = - 2 (x^2 + 2 x ) = - 2 ( x + 1 )^2 + 2

「式を変形する」...........詰まり、y = (....x +....)^2 + .... の形にしなければいけません、
此処(ここ)迄は判りますかね ?

y = - 2x^2 - 4 x = - 2 (x^2 + 2 x ) = - 2 ( x + 1 )( x + 1 ) + 2 = - 2 ( x + 1 )^2 + 2

................で、y = - 2 (x + 1 )^2 + 2 のとこでもう頂点が判る仕組みなのさ、
式をよ～く見て御覧、[ x + 1 ] & [ + 2 ]  のとこがヒントだよ、
頂点は、x の方は x + 1 → x = - 1 、 y の方は + 2 → y = 2

※ x のとこは、+ - を反転させれば好(い)いのさっ !! y のとこは其(そ)の儘(まま)......【重要】

外の例題を遣(や)ってみようっ !!
y = - 2 ( x - 3 )^2 + 3.....頂点は( 3 、3 )上に凸
y = - 2 ( x - 2 )^2 - 4.....( 2 、- 4)上に凸
y = 3 ( x + 2 )^2 + 1.........( - 2 、1 )下に凸
y = ( x + 4 )^2 - 2.............( - 4 、- 2 )下に凸

如何(どう)だい、頂点の来る場所(第1、2、3、4 象限)が 4 っつのパタ～ンが在るのが判るだろう ? 頂点が偶(たま)に、x 軸上、y 軸上、原点に来る時も在るよ。
君の質問文の頂点は、( - 1、2 ) だから、第 2 象限に在るのが判るね。

下の参考URLは頂点尽(づ)くしの問題集です、軽～く遣ってみてね、全～部判ったら君は「有頂天=うちょうてん」ですwってね、ゆとりで勉強です。

Do you understand ? OK ? (序(つい)でに英語も国語も勉強だ)

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/para_episode3.htm

tentolan · Answer

y> ならグラフの上、y<ならグラフの下こんばんは、 y=-2x^2-4x =-2x(x+2) ですので、 (0,0),(-2,0)でｘ軸と交わり、 (-1,1)を頂点とする、上に凸な放物線です。 y=x^2 や y=-x^2 のグラフは描けますか？おおざっぱでよいので、上記３点を通るグラフをノートに描いてみてください。「y=」なら、グラフの線上ですね。「y>」なら、例えば、式に x=0 を代入すると y=0 です。よって、ｘの値を 0 に固定して y の値を見たときに、y が 0 より大きい点(0,1)を含む領域が、 y>-2x^2-4x の表す領域です。ノートに描いたグラフの上の方の領域となりますね。「y<」なら、 x の値を 0 に固定して y の値を見たときに、y が 0 より小さい点(0,-1)を含む領域が、 y<-2x^2-4x の表す領域です。ノートに描いたグラフの下の方の領域となりますね。ちょっと難しいように感じるかも知れませんが、自分でグラフを描いてみると、スッキリと理解できると思います。がんばれ！