aは正の定数とする。関数y＝x²－4x+1 (0≦x≦a)の最大値を求めよ。という問題についてです。

aは正の定数とする。関数y＝x²－4x+1 (0≦x≦a)の最大値を求めよ。という問題についてです。

y＝－x²+4x+1 (0≦x≦a)の最大値を求めよのときは、
場合分けが2通りなのに、プラスマイナスが変わるだけで3通り場合分けをしなければならなくなるのはなぜですか？
どうやって2通り場合分けするときと3通り場合分けするときを判断すればいいのでしょうか

もうすぐテストなので、教えていただけるとありがたいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/15 17:50

質問の問題の場合だって

　y = x² - 4x + 1
　　= (x - 2)^2 - 3
なので
　0 < a ≦ 4 の場合：最大値は 1
　4 < a の場合：最大値は a^2 - 4a + 1
で「2とおりの場合分け」でよいでしょう？

どのように3つに分けますか？


二次関数のグラフでは、「下に凸」の場合と「上に凸か」の場合とでは「最大値」の位置が変わります。

「下に凸」の場合には、x の定義域の「２つの端点」のどちらかが「最大」になります。従って、「2つの端点のうちのどちらが大きいか」を判別すればよいです。

これに対して「上に凸」の場合には、x の定義域に「頂点」を含む場合には「頂点」で最大になり、定義域に「頂点」を含まない場合には「２つの端点」のどちらかが「最大」になります。
従って、「頂点を含むか否か」「頂点を含まない場合、定義域が頂点よりも右にあるか、左にあるか」の場合分けが必要です。

この回答へのお礼

丁寧に説明して下さり、ありがとうございます。とても分かりやすかったです。テスト頑張ります

お礼日時：2023/09/15 23:16

No.7 回答者： AっKI 回答日時： 2023/09/15 22:22

教科書を見てみるといい。

『グラフが描いてあるはずだ』
そのようなグラフを描いて最大値なり最小値を求める。
まずは例題をしっかり理解すること。
あなたが疑問にしている
「なぜその場合分けでよいのか」
という部分をきちんと理解すること。
ここがあいまいだから今のように問題を解くときに分からないのです。

この回答へのお礼

もう一度しっかり教科書を読んでみます。回答ありがとうございます

お礼日時：2023/09/15 23:05

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/15 20:59

y=x²-4x+1 は グラフに書くと、下に凸な放物線ですから、

頂点座標が 最大になる訳がない。
従って x の取り得る範囲の 両端のどちらかが 最大になる。
つまり 2通りしかありません。

y=-x²+4x+1 は グラフに書くと、上に凸な放物線ですから、
頂点座標が最大になる事もあり得ます。
つまり 3通りを 吟味することも有り得ます。

この回答へのお礼

この問題について理解することが出来ました。ありがとうございます。

お礼日時：2023/09/15 23:18

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/15 19:00

グラフを書けよ。

文字だけで考えてるから解らなくなる。

y＝x²－4x+1=(x-2)²-3
軸がx=2で頂点が(2,-3)

0≦x≦4の場合のフラフ範囲は青線

4≦xの場合のフラフ範囲は、青線＋赤線

この回答へのお礼

丁寧にグラフで説明して下さりありがとうございます。おかげで簡単に理解することが出来ました。テスト頑張ります！

お礼日時：2023/09/15 23:19

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/09/15 17:48

>プラスマイナスが変わるだけで3通り場合分け

●何の±が変わるのか?

この回答へのお礼

分かりにくい文章で申し訳ないです。回答ありがとうございます

お礼日時：2023/09/15 23:20

No.2 回答者： nantokanaru 回答日時： 2023/09/15 17:47

今回の問題ではy＝x²－4x+1では頂点が最小値なので、

最大値を求めようとしても無駄です。
このときの最大値はx=0かx=aのときです。

y＝－x²+4x+1 では頂点が最大値なので、
与えられた範囲と頂点の位置関係で確認します。


放物線の頂点のｘ座標を軸と表すと、

１）軸が与えられた範囲の左側にあるか
　　｜　〇　〇　←軸と交点の位置関係
　　（｜：軸　〇：ｘ軸と放物線の交点）
２）軸が与えられた範囲の中に入っているか
　　〇　｜　〇
３）範囲の不定数（今回の問題ではa）
　　と軸の値が同じになっているか
　　Φ　〇　または　〇　Φ
４）軸が与えられた範囲の右側にあるか
　　〇　〇　｜

この４パターンで場合分けするつもりでいると、
迷いづらくなります。

この回答へのお礼

ご親切にありがとうございます。おかげで理解することが出来ました。テスト頑張ります

お礼日時：2023/09/15 23:20

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2023/09/15 17:45

3通りは、わかりませんが

y＝x²－4x+1は、平方完成でy＝(x－2)²-4+1＝(x－2)²-３
から、頂点のｘは2、上に開放なので、
a>4なら最大値は、a²－4a+1
a≦4なら最大値は、１

y＝－x²+4x+1は、平方完成でy＝-(x－2)²＋4+1＝(x－2)²-５
から、頂点のｘは2、下に開放なので、
a>2なら最大値は、５
a≦2なら最大値は、－a²+4a+1

なのでは、無いでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。この問題について理解することが出来ました！

お礼日時：2023/09/15 23:21