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-2(x-2)²+4の軸と頂点を教えてください。なぜそうなるのかも教えてください。

A 回答 (7件)

この式を見た瞬間に、これは



y=-2x²

のグラフを

x軸に沿って2 、y軸に沿って4平行移動

したものと、思い浮かべるようになれるといいですね。基本中の基本ですから。
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軸 x=2


頂点 (2,4)

-2x²+4という式のグラフを書く練習はやった(やる)と思います。これは原点を頂点として上に凸のグラフとなる-2x²の放物線を、上に4ずらしたグラフになります。

-2(x-2)²+4は、そのグラフを横に2だけx軸の正の方向に動かしたグラフということになります。2つの式にyに同じ値を入れたとき、そこからxを求めるとちょうど2だけずれているのがわかると思います。

これらはすべて、原点を頂点とする基本的な-2x²という式を、+4することで縦に移動させ、xに代入した値から2をマイナスしてあげることで、横に移動しているということになります。

こういう風に考えれば、-2(x-2)²という式はグラフに書くと頂点のy座標が0である、原点から横に2だけ動いたグラフとなることもわかるでしょう。

もともとの式は-2x²+8x-4ですから、xの登場回数を減らして、グラフとの位置関係を示しやすくなっているのがこの-2(x-2)²+4という式なんです。

だから、(x-2)のところを見て、xに2を代入すればここが0になってyの値は最大値をとるんだな、(-2(x-2)²の箇所は、どんどん4から値を減らしていくので、どんなに頑張っても最大値は4)とわかる、すなわち頂点のx座標であり、軸だということがわかります。このとき、yの最大値が頂点の座標になるのはおのずとわかると思います。
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何年生ですか。


2次関数 y=ax²+bx+c を、
y=a(x+n)²+m と変形することを「平方完成」と云います。
これは y=ax² のグラフを x軸に沿って -n 、
y 軸に沿って m 平行移動 したものです。
y=ax² のグラフの頂点は 原点 (0, 0) ですから、
y=a(x+n)²+m の頂点の座標は (-n, m) となります。
(このようなことは、教科書や参考書に 書いてある筈です。)

従って y=-(x-2)²+4 のグラフの軸は x=2 で 頂点座標は (2, 4) です。
この式が 軸や 頂点座標を 表す式なのです。
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曲線上の点をいくつか描いてみても


見えるのは曲線の雰囲気だけであって、
曲線そのものは解りません。
描いた点と点の間の曲線がどんな形かは、
点の個数をいくら増やしても
永遠に埋められないからです。

y = -2(x-2)²+4 のグラフを理解したかったら、
曲線の平行移動を理解しましょう。
y = f(x) を x 方向に +a、 y 方向に +b 平行移動すると
y = f(x - a) + b のグラフになります。 ←[0]

なぜでしょう?
曲線 y = f(x) 上に点 (p,q) があるとすると、
q = f(p) が成り立ちます。 ←[1]
点 (p,q) を x 方向に +a、 y 方向に +b 平行移動
したものを (u,v) と置けば、 u = p + a, v = q + b です。 ←[2]
[2] を [1] へ代入すると v - b = f(u - a).
これって、点 (u,v) が曲線 y - b = f(x - a) 上にあるってことです。
[0] が導けました。

これを y = -2(x-2)²+4 にあてはめると、この曲線は
y = -2x^2 を x 方向に +2、 y 方向に +4 平行移動したもの
だということになります。

あとは、 y = -2x^2 の軸と頂点を知って、それを
x 方向に +2、 y 方向に +4 平行移動したものが
y = -2(x-2)²+4 の軸と頂点です。 ←[3]

では、 y = -2x^2 の軸と頂点は何でしょう?
それを知るには、放物線の形を知って
2次関数の「軸」と「頂点」の定義を理解するしかありません。
とりあえず、ここでは約束事だと思って
y = -2x^2 の軸は x = 0、頂点は (x,y) = (0,0) であることを認めましょう。

すると結局、[3] により
y = -2(x-2)²+4 の軸は x = 2、頂点は (x,y) = (2,3) です。
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自分もグラフを描くことを薦めます。


この手の問題は数字をいじることで求めるのは無理。(マジで)
イメージするか、実際に描くことで考えるのが筋です。
(極一部に先天的にイメージすることができない人がいますが、
 質問者さんがそのケースに当てはまる場合は例外という事で勘弁してください)

・・・本題・・・

まず、+4はxの値の影響を受けません。
常に+4されるってこと。

グラフなら、X軸に平行な高さ4の直線になります。
頂点なんてない。

頂点は、(x-2) の括弧の中がゼロになる場合です。
括弧の中の値がマイナスでも二乗されるのでプラスになってしまう。
なので頂点はゼロになる場合って事。

ならば、xがいくつの値になるかは分かりますね。
小学生レベルの算数です。

そんなわけで ”軸”?…なんじゃそりゃ?定義が完全に抜け落ちてるぜ…のX座標はこれで分かるでしょう。


・・・余談・・・

前置きで書いたように、イメージできれば一瞬で解けます。
数字や数式をいじり回して答えを出そうなんて考えちゃダメだ。
その数式が何を示しているのかをちゃんと理解するようにしよう。

まあ、公式を丸暗記すれば良い点数が取れると勘違いしている子には無理な話です。
質問者さんがそんな頭の悪いことを考えていないことを期待しています。
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グラフを書いてみてください。



y = -2(x - 2)² + 4
に、
 x=-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
ぐらいを代入して y の値を求め、x-y 平面にプロット(点を書き込む)してみてください。
あとは、それを滑らかにつなげる。

とんがりのてっぺんが「頂点」で、左右対称の「中心線」が「軸」です。

書いてみて「なるほど」と理解・納得するのが大事です。
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軸 x=2


頂点 (2,4)
平方完成してカッコの中の数字の符号を変えたのが頂点のx座標、外に出ているのを符号そのまま出したのがy座標、これは覚えて良いです。
なぜそうなるのかについてですが、グラフを書けばわかります。
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