0≦x≦8のすべてのxについて、不等式x^2-2kx+k+6>0が成り立つような定数kの値の範囲 を

0≦x≦8のすべてのxについて、不等式x^2-2kx+k+6>0が成り立つような定数kの値の範囲
を求めよ
これの答えを教えてください、
できれば途中式もあるとありがたいです。

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2020/09/28 00:48

f(x)＝x^2－2kx＋k＋6のグラフを考える。

(1) f(x)＝0に実数解がない場合
題意を満たす。その条件は判別式(2k)^2－4・1・(k＋6)＜0 である。
4k^2－4k－24＜0
k^2－k－6＜0
(k－3)(k＋2)＜0
－2＜k＜3

(2) f(x)＝0に実数解がある場合
（この場合、(1)より k≦－2、3≦k が前提となる。）
2つの解をα、βとすると、
(i)α＜0かつβ＜0　つまり　α＋β＜0 かつ αβ＞0 の場合がある。この場合、解と係数の関係より、
2k＜0 かつ k＋6＞0 が成立する。
k＜0 かつ －6＜k より －6＜k＜0 → －6＜k≦－2
　
(ii)8＜αかつ8＜β　つまり　α＋β＞16 かつ (α－8)(β－8)＞0 の場合がある。この場合、解と係数の関係より、
2k＞16 かつ (k＋2)－8・2k＋64＞0 が成立する。
8＜k かつ k＋2－16k＋64＝66－15k＞0
8＜k かつ k＜22／5
これを満たすkは存在しない。

以上より、－6＜k＜3 が答えとなる。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/27 13:53

f(x) = x^2 - 2kx + k + 6

とおくと
　f(x) = (x - k)^2 - k^2 + k + 6　　　①
なので
y = f(x)
のグラフは
・下に凸
・頂点は (k, -k^2 + k + 6)　　　　②
の放物線になります。

(a) x の定義域 0≦x≦8 の中に頂点があれば、つまり③ 0≦k≦8 であれば、与不等式が成り立つには頂点の y 座標が
　-k^2 + k + 6 > 0 　　　　④
であればよいことになります。
④は
　k^2 - k - 6 < 0
→　(k - 3)(k + 2) < 0
ですから
　-2 < k < 3
のとき成立します。
これと③ 0≦k≦8 を同時に満たすのは
　0 ≦ k < 3
ということになります。

(b) 頂点②が x の定義域 0≦x≦8 よりも左にある、つまり k<0 のときには、 x の定義域 0≦x≦8 で①が最小となるのは x=0 のときです。
従って、このとき与不等式が成り立つには
　f(0) > 0
であればよいことになります。
つまり
　f(0) = k + 6 > 0
よって
　-6 < k < 0

(c) 頂点②が x の定義域 0≦x≦8 よりも右にある、つまり 8<k のときには、 x の定義域 0≦x≦8 で①が最小となるのは x=8 のときです。
従って、このとき与不等式が成り立つには
　f(8) > 0
であればよいことになります。
つまり
　f(8) = 64 - 16k + k + 6 = 70 - 15k > 0
8<k でこれを満たすものはない。

従って、求める k の範囲は、(a) と (b) より
　-6 < k < 3

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
助かりました！

お礼日時：2020/09/29 00:29

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/09/27 13:23

グラフを描いてみ！

下に凸の二次関数だから、0≦x≦8のみ>0なんて事は出来ない。
<0とか、上に凸の間違いじゃないかい？

x^2-2kx+k+6<0 か
-x^2-2kx+k+6>0

の間違いじゃ無いか？ということ。