二次不等式と二次関数

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質問者：sinquuu
質問日時：2013/10/29 23:05
回答数：4件

この問題の解き方がまったくわかりません！
教えてください！

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回答 (4件)

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No.4ベストアンサー

回答者： KEIS050162
回答日時：2013/10/30 12:38

１）、２）は初歩的な問題ですが、３）は、二次関数のグラフが自由自在に描けないとちょっと難しいかも知れませんね。

二次関数のグラフの描き方（平方完成含め）と、二次不等式のところは教科書・参考書（数IAの範囲）でよく復習しておいてください。

１）　x^2-2x > 0
悩むところはありません。左辺を因数分解（というほどでもない）して、
x(x-2) > 0
y= x(x-2)　のグラフを描いてみれば、y>0　となる　xの範囲が、 x<0、 2<x であることはすぐに分かります。
※後に出てくるこの条件は、単にxの変域 x<0、 2<x　を決めるためだけです。

２） f(x)=x^2-2ax-2a+15
平方完成して、 f(x) = (x-a)^2 - (a^2+2a-15)
最小値は、- (a^2+2a-15)

判別式で判定しますが、この場合D/4を使った方が楽なので、
D/4 > 0
a^2+2a-15 > 0
(a+5)(a-3) > 0　なので、　a<-5、3<a ですが（解き方は１）と一緒）、問題文から a ≧ 0 なので、3 < a。

３）　f(x)が x<0、2<x の範囲で、異なる２つの解を持つ条件
前の１）２）に比べてちょっと難しい気がします。もっとスマートな方法があるのかも知れませんが、取りあえず参考にしてください。

二つの異なる解を　α 、 β　(α<β）　として、解の公式から求めてみます。
α = a - √(a^2+2a-15)
β = a + √(a^2+2a-15)

ここで、a > 3 ですから、βは必ず　b > 3　となり、x>2　を満たすことが分かります。
【余談】ちょっと工夫します。
　２）で平方完成した結果から、y=f(x)　のグラフの軸は、　x=a で、a > 3　即ち軸は3 より右にあります。
　最小値は、- (a^2+2a-15) ですが、 a > 3 なので、0より小さくなります。
　まずはこのy=f(x)のグラフをイメージしてください。
　この放物線のx軸との交点の右側（即ちx=β）は、必ず軸よりも右になります。
　このことからも β>3　であることが分かります。

一方　αですが、α < 0、　2 < α　である必要があるので、解の公式から
a - √(a^2+2a-15) < 0
a < √(a^2+2a-15)
a^2 < a^2+2a-15
15/2 < a　
a - √(a^2+2a-15) > 2
(a-2)^2 > a^2+2a-15
a^2 - 4a + 4 > a^2+2a-15
19 > 6a
19/6 > a
２）から、　3<a　なので、 3 < a < 19/6 、15/2 < a

【余談】先のグラフに戻りますが、
　3 < a < 19/6 の時、放物線の頂点の動く範囲もこれに合わせて決まります。（計算してみてください。）
　この時、放物線の左側（x=α）　が、2 < α < 3 となります。

　一方　15/2 < a の時は、放物線の頂点ももっと下に下がり、ｘ軸との二つの交点は、それぞれ　a < 0、2 β　の位置になります。　グラフでイメージすると分かり易いです。

ご参考に。