２次関数

f(x)=x|x-4|について、a≧0を満たす定数aに対して、0≦x≦a の範囲におけるf(x)の最大値M(a)は？という問題に対して、場合分けとして、0≦a<4とa≧4で分けたのですが、回答は、0≦a<2と、2≦a<2+2√2 、a=2+2√2 、a＞2+2√2で分けてありました。y=4の直線との交点がなぜ必要なんですか？できるだけわかりやすくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/09 17:57

先ず、y＝f(x)のグラフは書けたんだろうか？

0≦xから、グラフは、y＝f（x）＝x＾2-4x　の0≦x≦4の部分と、y＝g（x）＝4x-x＾2　のx≧4の部分。
xの下の限界は0だから、xの上の限界を考えれば良い。
その際、y＝4x-x＾2＝4-（x-2）＾2の最大値が4である事に注意が必要。
0≦a≦2の時、最大値：Ｍ（a）＝g（a）＝4a-a＾2
2≦a≦4の時、最大値：Ｍ（a）＝g（2）＝4
4≦a≦2＋2√2の時、最大値：Ｍ（a）＝g（2）＝4
2＋2√2≦aの時、最大値：Ｍ（a）＝f（a）＝a＾2-4a

＞y=4の直線との交点がなぜ必要なんですか？

y＝4（つまり、a＝2＋2√2）を分岐点として、最大値が変わるから。
2≦a≦2＋2√2　の範囲では、最大値は常に4だが、a＝2＋2√2を超えると、最大値はf（a）＝a＾2-4aになる。
分からなければ、分かるまで、最初の y＝x|x-4|　のグラフと睨めっこしなさい。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/09 18:25

又、ミスった。

（誤）0≦xから、グラフは、y＝f（x）＝x＾2-4x　の0≦x≦4の部分と、y＝g（x）＝4x-x＾2　のx≧4の部分

（正）0≦xから、グラフは、y＝f（x）＝x＾2-4x　のx≧4の部分と、y＝g（x）＝4x-x＾2　の0≦x≦4の部分

この回答へのお礼

またまたありがとうございます。本当にありがとうございます。言葉が違うだけで、かなりわかりやすいです。ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/10 17:30

No.1 回答者： banakona 回答日時： 2009/05/09 17:53

f(x)=x|x-4|のグラフは下図の緑のような形をしています。

最大値の候補は３つあって、その内の２つが図の点Ａと点Ｂです（残る一つは自分で
考えて。また、点Ｂの位置はａの値によって変化します）。

０～ａの範囲で最大値を考えるので、最大値が点Ａから点Ｂに切り替わるのは、
点Ａよりも右でグラフのｙ座標が点Ａと同じになる箇所です。

点Ａのｙ座標は４ですから、前記「箇所」を求めるにはｙ＝４との交点が必要になります。

この回答へのお礼

かなりわかりやすく、解説していただき本当にありがとうございます。もっともっと練習を積みたいと思います。

お礼日時：2009/05/10 17:32