高校数学I 二次関数 最大値、最小値の問題が分かりません。

以下の問題が分かりません。
2次関数f(x)=ax^2-3ax+2a+1がある。ただし、aは0でない定数とする。
（1）0≦ｘ≦2におけるf(x)の最大値がa^2-14であるとき、aの値を求め　　よ。
（2）y=f(x)のグラフをx軸方向にaだけ平行移動したグラフをあらわす2次関数をy=g(x)とする。0≦ｘ≦2における関数g(x)の最大値をaを用いて表せ。

（1）についてはa＞0の場合とa＜0の場合に分けて、やろうと思ったのですが、a＜0の場合がうまくいきません。

（2）については平行移動したものなので傾きがaであるということは分かるのですが、そこから先が全く分かりません。

回答よろしくお願いします。

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/08/19 23:55

（１）ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを書きましょう。

二次関数だから放物線、左右対称でその軸はｘ＝３／２ですね。ａ＜０（つまり放物線は上に凸）の場合、ａ＞０（同じく下に凸）の場合に分けて放物線を書き、０＜＝ｘ＜＝２の範囲も書き込みます。二次関数の最大値、最小値の候補は与えられたｘの範囲の両端、および頂点です。どの点でｆ（ｘ）が最大になるか考えてみて下さい。
（２）最大値に関していえば、グラフをａだけ動かすということはｘの範囲を－ａ動かすことと同じですね。ｆ（ｘ）の－ａ＜＝ｘ＜＝２－ａにおける最大値を考えればいいと思います。但し今回はａの値によって放物線の軸とｘの範囲との位置関係が変わってくるので場合分けが若干複雑になります。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2009/08/19 23:51

f(x)=ax^2-3ax+2a+1　がどんなグラフになるか考えましょう。

f(x)=ax^2-3ax+2a+1
　　=a(x-3/2)^2-1/4a+1

よって、このグラフは、x=3/2 のとき、f(x)は極大値または極小値をとります。



（1）0≦ｘ≦2におけるf(x)の最大値がa^2-14であるとき、aの値を求めよ。

a<0 の場合は、x=3/2 のとき極大値を取りますから、それが最大値となります。

a>0 の場合は、x=3/2 のとき極小値を取りますから、最大となるのは、x=0 のときか x=2 のときです。

あとは、x にその値を代入して、f(p)=a^2-14 を解けばＯＫ



（2）y=f(x)のグラフをx軸方向にaだけ平行移動したグラフをあらわす2次関数をy=g(x)とする。0≦ｘ≦2における関数g(x)の最大値をaを用いて表せ。

x軸方向にaだけ平行移動するということは、x が x-a になるということです。

すなわち、g(x)=f(x-a)=a(x-a-3/2)^2-1/4a+1

これは、x=a+3/2 のとき、g(x)は極大値または極小値をとります。

0≦x≦2 なので、

a≦-3/2　、-3/2<a<0　、0<a<1/2　、1/2≦a　の４つの場合に分けて考える必要があります。



以上、ご参考まで

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/08/19 23:05

>a＜0の場合がうまくいきません。

どのように「うまくいかない」かを補足にどうぞ。


>平行移動したものなので傾きがaであるということは分かるのですが

「傾きがaである」とはどのような意味かを補足にどうぞ。