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aを実数とし、関数 f(x)=x3乗ー3ax+a を考える。
0≦x≦1において、f(x)≧0となるようなaの値の範囲を求めよ。

この問題が分かりません(´・_・`)
分かりやすくお願いします。

A 回答 (3件)

三次式のグラフの形はしっかりイメージできてますか。


・頂点2箇所
 (全体にわたって傾きが正負何れか一方で頂点がない場合もある)
・変曲点を持つ
そこで、f(x) = x³ - 3ax + a について考える。
1) f(0) = 0³ - 3a·0 + a = a
  f(1) = 1³ - 3a·1 + a = 1 - 2a 少なくともa≧1/2
2) f'(x) = 3x² - 3a
 頂点があれば、x = ±√a (1)よりx = √a
 f(√a) = (√a)³ - 3a(√a) + a
    = a - 2a√a
    = a(1 - 2√a)
 a≦1のときは、頂点は0~1の間にある。
 a≧1以上の場合は、0≦x≦1において、一方的に右下がり。
3) f"(x) = 6x
 変曲点は x= 0

これくらいで、増減表を書いて見ましょう。
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もう、微分は習いましたか?グラフを描いて、区間内で最小値が負にならないようなaの条件を求めるといいですよ。

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函数の大域的な振る舞いが知りたければ,グラフを活用しましょう.



区間 0 <= x <= 1 において f(x) >= 0 となるようにしたければ,
 区間 0 <= x <= 1 においてグラフの最も低くなっているところが x 軸上または x 軸より上にくる
ようにすればよいのですよね.

前提として,
定数 a の値が負であれば x = 0 で f(x) < 0 となってしまうので,
a >= 0 でなければならないというのはわかりますよね.

条件 a >= 0 の下で f(x) のグラフを描くとどのようになっているでしょうか?
特に,区間 0 <= x <= 1 における最小値はどこでとるでしょうか?
場合わけは必要かもしれませんが,簡単にわかるはずです.
(グラフの概形を調べるための方法はすでに習っていますよね.)

その最小値が 0 以上となる条件を求めればよいでしょう.
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