数学 3次関数

aを実数とし、関数 f(x)=x3乗ー3ax＋a を考える。
0≦x≦1において、f(x)≧0となるようなaの値の範囲を求めよ。

この問題が分かりません(´･_･`)
分かりやすくお願いします。

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/08/13 09:28

三次式のグラフの形はしっかりイメージできてますか。

・頂点２箇所
　（全体にわたって傾きが正負何れか一方で頂点がない場合もある）
・変曲点を持つ
そこで、f(x) = x³ - 3ax + a　について考える。
1) f(0) = 0³ - 3a·0 + a = a
　 f(1) = 1³ - 3a·1 + a = 1 - 2a　少なくともa≧1/2
2) f'(x) = 3x² - 3a
　頂点があれば、x = ±√a　(1)よりx = √a
　f(√a) = (√a)³ - 3a(√a) + a
　　　　= a - 2a√a
　　　　= a(1 - 2√a)
　a≦1のときは、頂点は0～1の間にある。
　a≧1以上の場合は、0≦x≦1において、一方的に右下がり。
3) f"(x) = 6x
　変曲点は x= 0

これくらいで、増減表を書いて見ましょう。

No.2 回答者： febhoney 回答日時： 2015/08/12 18:04

もう、微分は習いましたか？グラフを描いて、区間内で最小値が負にならないようなaの条件を求めるといいですよ。

No.1 回答者： fef 回答日時： 2015/08/12 15:40

函数の大域的な振る舞いが知りたければ，グラフを活用しましょう．

区間 0 <= x <= 1 において f(x) >= 0 となるようにしたければ，
　区間 0 <= x <= 1 においてグラフの最も低くなっているところが x 軸上または x 軸より上にくる
ようにすればよいのですよね．

前提として，
定数 a の値が負であれば x = 0 で f(x) < 0 となってしまうので，
a >= 0 でなければならないというのはわかりますよね．

条件 a >= 0 の下で f(x) のグラフを描くとどのようになっているでしょうか？
特に，区間 0 <= x <= 1 における最小値はどこでとるでしょうか？
場合わけは必要かもしれませんが，簡単にわかるはずです．
（グラフの概形を調べるための方法はすでに習っていますよね．）

その最小値が 0 以上となる条件を求めればよいでしょう．