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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
f(x)=x^3-6x^2+9x
=x(x-3)^2
また、f'(x)=3(x-1)(x-3)
となるので、このグラフは
原点(0,0)を通り、
x=1で極大値をとり
x=3で極小値(この時、重根なのでx軸に接する)をとる
~(N字型の)グラフとなります。
ここまではできていると仮定した上で、
グラフを書いてみたらわかりますが
f(α)=f(α+1)というのは、式で表しているように
(xが取る区間の幅が1)という条件でf(x)の値が同じになる点 x=α を求めることです。
つまり、求まったαより少しでもずれたら最大値が特定できます。
もう少し具体的にいうと、αより0.1小さい値をとるなら
この問題の場合f(x)の値の大きさの順は
極大値の前後では
f(α-0.1)<{f(α+1-0.1)=f(α+0.9)}<{(極大値)=(最大値)}
極小値の前後では
(極小値)<{f(α+1-0.1)=f(α+0.9)}<{f(α-0.1)=(最大値)}
のようになります。
そのようになるαを特定しましょうということです。
この問題の場合、
α<{f(x)が極大での x の値}<α+1 …(1)
α<{f(x)が極小での x の値}<α+1 …(2)
のように、それぞれ1つずつαが求まります。
f(α)=f(α+1)をαについて解くと
α=(9±√33)/6
となり、このαの値のうち、小さい方は(1)のα、大きい方は(2)のα
に相当します。
この問題の場合、最大値を求める問題なので、
3.で初めて適用されているのです。
言うまでもありませんが、
例えば問題でxの区間が
区間 a≦x≦a+(1/2)
であれば、f(α)=f(α+(1/2))
として使うことになります。
No.1
- 回答日時:
3. a < 3 < a + 1 のとき、値域の中に極小値がある状態ですね。
x = a か、x = a + 1 の時が最大かなと検討がつくだろうと思います。
左の方から値域が少しずつと移動してくると、f (a) = f(a + 1) の時に極小値が丁度値域の真ん中にくるので、
x^3 - 6x^2 + 9x = (x + 1)^3 - 6(x + 1)^2 + 9(x + 1) でxを求めると、
x = 9 + √33/6 と分かります。あとはaがこのxより大きいか小さいかで場合分けをするという訳です。
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