二次関数場合わけ

二次関数y=-2x^2+8x-4の定義域をc≦x≦c+1とし、この定義域における
二次関数の最大値をＭ，最小値をｍとする。

Ｍ+ｍのとりうる値を考えるとき、Ｍ+ｍの最大値とそのときのｃを求めよ。

という問題でＭ＝４となるときの定数cのとりうる値の範囲は1≦c≦2ですよね。

ここからどうやって場合わけするんですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/19 20:37

難しくないけれど、結構面倒だね。

f（x）＝-2x^2+8x-4＝-2（x-2）＾2＋4とすると、これは上に凸の2次関数で、軸がx＝2.
それらを考えた上で、場合分けは、4つ発生する。
先ず、あらかじめ計算しておくが、f（c）＝-2c＾2+8c-4、f（c＋1）＝-2c＾2+4c＋2.　　　Ｎ＝Ｍ+ｍとすると
（1）c+1≦2　即ち、c≦1の時
Ｍ＝f（c＋1）、ｍ＝f（c）より　Ｎ＝Ｍ+ｍ＝-4c＾2+12c-2
（2）c≧2の時
Ｍ＝f（c）、ｍ＝f（c＋1）より　Ｎ＝Ｍ+ｍ＝-4c＾2+12c-2
（3）c≦2≦c＋1　即ち1≦c≦2の時
Ｍ＝f（2）＝4は変わらないが、最小値については変動する。
f（c＋1）-f（c）＝2（3-2c）であるから、その値が小さいほうが最小値となる。
・3-2c≧0　の時、f（c＋1）≧f（c）よりｍ＝f（c）であるから、Ｎ＝Ｍ+ｍ＝4＋f（c）＝-2c＾2+8c
・3-2c≦0　の時、f（c）≧f（c＋1）よりｍ＝f（c＋1）であるから、Ｎ＝Ｍ+ｍ＝4＋f（c＋1）＝-2c＾2+4c＋6.

以上から
c≧2の時、Ｎ＝Ｍ+ｍ＝-4c＾2+12c-2
3/2≦c≦2の時、Ｎ＝Ｍ+ｍ＝-2c＾2+4c＋6
1≦c≦3/2の時、Ｎ＝Ｍ+ｍ＝-2c＾2＋8c
c≦1の時、Ｎ＝Ｍ+ｍ＝-4c＾2+12c-2

後は、これらの4つの2次関数を書いて見ると結果はわかるでしょう。自分でやってください。

No.2 回答者： kiskfry 回答日時： 2008/06/19 17:51

こんにちは。

まずはグラフを書いてください。
勉強段階においては、何度も手書きすることで
慣れてくると頭の中でイメージするだけで分けることが出来るようになります。

簡単にグラフを書くポイントは
y = -2x~2 +8x -4

x = 0　のとき　y = -4

次ぎに　-2x~2 +8x = 0 となるポイントを探す。
　-2x~2 +8x = 0
　2x~2 = +8x
　x = 4
これはx = 4 のとき　またy = -4 となります。

この2次関数は二乗の符号がマイナスなので
山形グラフになるので
x　が　0　と　4　の真ん中(x = 2)が最大値となります。

グラフできました？


そこで場合分けです。

まず、M+m　の最大値を欲しい訳なので
グラフの軸となる x = 2　の時のyがM　で
c ≦ x ≦ c+1 は2を含む範囲となります。

次ぎに最小値がどこにくるかです。
M+mが最大になる＝mも大きいほうがいい
で
c ≦ x ≦ c+1　が
m がもっとも大きくなるようにするにはどうすればいいかを
考えると

(1)1 ≦ x ≦ 2　(軸が右端に来る場合)
(2)1.5 ≦ x ≦ 2.5　(軸が範囲内<真ん中>に来る場合)
(3)2 ≦ x ≦ 3　(軸が左端に来る場合)
の(3)パターンに場合分けできます。

で2次関数は軸を中心に左右対称なのが特徴なので
(1)と(3)は同じ条件になります。
で答えは(2)となります。

まぁ解説よりグラフの作り方をしっかり覚えて
頭の中で掛けるようになったら、全ての関数は難易度がぐっと下がります。

頑張ってください＾＾

No.1 回答者： 774danger 回答日時： 2008/06/19 17:35

C≦1と2≦CのときのMは?

そもそもmは?
最終的に求めるのはM+mの最大値です。