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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
難しくないけれど、結構面倒だね。
f(x)=-2x^2+8x-4=-2(x-2)^2+4とすると、これは上に凸の2次関数で、軸がx=2.
それらを考えた上で、場合分けは、4つ発生する。
先ず、あらかじめ計算しておくが、f(c)=-2c^2+8c-4、f(c+1)=-2c^2+4c+2. N=M+mとすると
(1)c+1≦2 即ち、c≦1の時
M=f(c+1)、m=f(c)より N=M+m=-4c^2+12c-2
(2)c≧2の時
M=f(c)、m=f(c+1)より N=M+m=-4c^2+12c-2
(3)c≦2≦c+1 即ち1≦c≦2の時
M=f(2)=4は変わらないが、最小値については変動する。
f(c+1)-f(c)=2(3-2c)であるから、その値が小さいほうが最小値となる。
・3-2c≧0 の時、f(c+1)≧f(c)よりm=f(c)であるから、N=M+m=4+f(c)=-2c^2+8c
・3-2c≦0 の時、f(c)≧f(c+1)よりm=f(c+1)であるから、N=M+m=4+f(c+1)=-2c^2+4c+6.
以上から
c≧2の時、N=M+m=-4c^2+12c-2
3/2≦c≦2の時、N=M+m=-2c^2+4c+6
1≦c≦3/2の時、N=M+m=-2c^2+8c
c≦1の時、N=M+m=-4c^2+12c-2
後は、これらの4つの2次関数を書いて見ると結果はわかるでしょう。自分でやってください。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
まずはグラフを書いてください。
勉強段階においては、何度も手書きすることで
慣れてくると頭の中でイメージするだけで分けることが出来るようになります。
簡単にグラフを書くポイントは
y = -2x~2 +8x -4
x = 0 のとき y = -4
次ぎに -2x~2 +8x = 0 となるポイントを探す。
-2x~2 +8x = 0
2x~2 = +8x
x = 4
これはx = 4 のとき またy = -4 となります。
この2次関数は二乗の符号がマイナスなので
山形グラフになるので
x が 0 と 4 の真ん中(x = 2)が最大値となります。
グラフできました?
そこで場合分けです。
まず、M+m の最大値を欲しい訳なので
グラフの軸となる x = 2 の時のyがM で
c ≦ x ≦ c+1 は2を含む範囲となります。
次ぎに最小値がどこにくるかです。
M+mが最大になる=mも大きいほうがいい
で
c ≦ x ≦ c+1 が
m がもっとも大きくなるようにするにはどうすればいいかを
考えると
(1)1 ≦ x ≦ 2 (軸が右端に来る場合)
(2)1.5 ≦ x ≦ 2.5 (軸が範囲内<真ん中>に来る場合)
(3)2 ≦ x ≦ 3 (軸が左端に来る場合)
の(3)パターンに場合分けできます。
で2次関数は軸を中心に左右対称なのが特徴なので
(1)と(3)は同じ条件になります。
で答えは(2)となります。
まぁ解説よりグラフの作り方をしっかり覚えて
頭の中で掛けるようになったら、全ての関数は難易度がぐっと下がります。
頑張ってください^^
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