親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

f(x)=x^2-4x+3,g(x)=2x^2-ax+a-1がある
aは定数
(1) f(x)<0を解け
(2)g(x)のグラフがx軸と異なる2点で交わるaの範囲を求めよ
(3)g(x)のグラフが(1)で求めたxの範囲において、x軸と異なる2点で交わるようなaの範囲を求めよ

3番お願いします

A 回答 (1件)

(1)単純に解けばよい。

二次不等式の普通の問題。
 x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) < 0
だから
 1 < x < 3   ①

(2)これは二次方程式 g(x)=0 の「判別式」を使う。
 D = a^2 - 8(a - 1) > 0
解けるよね? (1)ができないなら、これも無理か?
 a^2 - 8a + 8 > 0
 (a - 4)^2 - 8 > 0
 (a - 4)^2 > 8
 a - 4 < -2√2 または 2√2 < a - 4
よって
 a < 4 - 2√2 または 4 + 2√2 < a    ②

これは、(3)でも使う「平方完成」
  g(x) = 2(x - a/4)^2 - a^2 /8 + a - 1
で、頂点が (a/4, -a^2 /8 + a - 1) になることが分かるので、「頂点がx軸よりも下にある」というのと同じ条件である。

(3)これは
 g(x) = 2(x - a/4)^2 - a^2 /8 + a - 1
なので、頂点が (a/4, -a^2 /8 + a - 1) で、下に凸(上に開く)の放物線である。

 よって、x軸と異なる2点で交わるためには
・頂点が①の範囲内にあり、  ←1 < a/4 < 3
・頂点がx軸の下にあり、  ← -a^2 /8 + a - 1 < 0
かつ①の両端で
・g(x)>0          ← g(1)>0, g(3)>0
であればよい。
 どうしてこれでよいのかは、グラフを見ればわかる。

・頂点が①の範囲内にあるためには
  1 < a/4 < 3
よって
  4 < a < 12    ③
これは②を満たす。

・g(1)>0, g(3)>0 になるためには
  g(1)= 2 - a+ a - 1 = 1 > 0
  g(3)= 18 - 3a+ a - 1 = -2a + 17 > 0
より
  a < 17/2    ④

③④の共通範囲から
  4 < a < 17/2

馬鹿正直に、g(x)=0 の二次方程式の一般解を求め、それが(1)の範囲内になる不等式を解いてもよい。ちょっと面倒だけれど。
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どうか私に声をおかけ下さい・・・本当に死にそうな思いです。

Aベストアンサー

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>急に上がりすぎたらやはり疑われるのでしょうか?
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だって偏差値で一気に30ってすごいよ。

>先生からの信頼が無くなるのがすごく不安で、生きていくのもツラいぐらいです。
>先生や親に本当のことを言うべきでしょうか?
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実際に君は生きていくのが辛いって思うほどストレスを感じてるじゃん。
黙っていたら一生その負い目を背負っていくんだよ。
高校入試や大学入試の本番で不正をして合格したってんなら、罪悪感が消えなくてもず~~っと黙っていれば良い。
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解法から教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(2)f(x)=(x-1)^2-1+2a^2よりy=f(x)は頂点が(1,-1+2a^2)で軸の方程式がx=1である下に凸の放物線であることがわかります。

軸がx=1で動きません。
a≦x≦a+1は区間幅が1で固定値ですけど、aの値によって定義域が左右にずれます。
(「aは0<a<2を満たす定数とする」はあとで考えればいいです。)

このことをグラフを描いて確認してください。

そうすると、aの値によってy=f(x)の最小値が変わることがわかると思います。

それで、ざっくりと場合わけしてみると、
たとえば定義域の右端に注目して
i a+1<1のとき(定義域の右端が軸の方程式x=1よりも左側にある場合です)、すなわちa<0のとき、
x=a+1のとき最小値f(a+1)=・・・計算してまとめます となる。

ii 1≦a+1<2のとき、すなわち0≦a<1のとき、
x=1のとき最小値f(1)=-1+2a^2 となる。

iii a+1≧2のとき、すなわちa≧1のとき
x=aのとき最小値f(a)=・・・計算してまとめます となる。

y=f(x)のグラフ(図は軸がx=1であることがわかれば十分です)と区間幅が1の領域を左右に動かしながらaがどういうときにy=f(x)がどういう最小値をとるかを調べてください。


それで仮定より0<a<2なので、
iは範囲外なのでこの問では考える必要なし
iiはそのまま解
iiiはa≧1を1≦a<2と上限をつけます。

(2)f(x)=(x-1)^2-1+2a^2よりy=f(x)は頂点が(1,-1+2a^2)で軸の方程式がx=1である下に凸の放物線であることがわかります。

軸がx=1で動きません。
a≦x≦a+1は区間幅が1で固定値ですけど、aの値によって定義域が左右にずれます。
(「aは0<a<2を満たす定数とする」はあとで考えればいいです。)

このことをグラフを描いて確認してください。

そうすると、aの値によってy=f(x)の最小値が変わることがわかると思います。

それで、ざっくりと場合わけしてみると、
たとえば定義域の右端に注目して
i a+1<1のとき(定...続きを読む

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