aを定数とするとき、
xの二次関数 y=x^2 - 2ax - 2x + a^2 + 2a
について、区間 0 ≦ x ≦ 2 におけるyの最小値、最大値をaで表しなさい。
因数分解をして、
y = { x - (a+1) }^2 -1
となって、x軸=a+1 となったのですが、
ここからが分かりません。
解答は
a+1≦1のとき、x=2で最大値a^2-2a
a+1〉1のとき、x=0で最大値a^2+a
とありますが、なぜa+1≦1のときと判断出来るのでしょうか。
まだx=0を式に当てはめればa^2+aはでてくるのでしょうか。
宜しくお願いします。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
グラフを書いてみれば一目瞭然となります。
y = { x - (a+1) }^2 -1
は、因数分解ではなく、平方完成といいます。これにより、二次関数のグラフの頂点と軸が分かります。
軸は、x=a+1 で 頂点は、(a+1,-1) となります。
X^2の係数が正なので、これは、頂点が下に凸となる放物線になることが分かり、これで最小値が分かります。
aの値によって何が変わるか? ⇒ グラフの軸が左右に移動します。
グラフの軸が左右に移動するということは、変域0≦x≦2の領域の両端(即ちx=0、x=2の時)のyの値が変わることに注目してください。
変域内の中央はx=1の時ですから、これより左側に移動すると、最大値はx=2の時になり、
これより右側に移動すると、最大値はx=0の時になります。
なので、軸がセンターより右か左か、即ち、a+1≦1 か 0<a+1 かで条件を分けているのです。
教科書・参考書にもう少し詳しい解説が載っているはずなので、よく復習しておいてください。
パターンとしては、変域が固定で、軸が移動するものと、
軸が固定で、変域が移動するケースがありますので、両方良く復習しておいてください。
ご参考に。
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