数I 2次関数とグラフ

現在、青チャート 数Iをやっているのですが、2次関数とグラフの単元で解説を見ても
わからないところがあります。

cを実数の定数とし、点Pの座標(0, c)とする。
点Qが放物線 y=x^2上を動くとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。
(数研出版　チャート式基礎からの数I+A　P105 130番より)

点Q(x, y)とおくとQは y=x^2上を動くから
　PQ^2=x^2+(y-c)^2=x^2+y^2-2cy+c^2
　　　=y+y^2-2cy+c^=y^2-(2c-1)y+c^2
　　　=(y-(2c-1)/2)^2+c-1/4

ただし、y=x^2≧0
....
(数研出版　チャート式基礎からの数学I+A <解答編> P66より)

と、このようになっておりこの後、
i)(2c-1)/2<0 すなわち、c<1/2の時
ii)(2c-1)/2≧0 すなわち c≧1/2の時

と、場合分けをしております。

平方完成をしたところまではわかるのですが、
何故 (2c-1)/2<0 と (2c-1)/2≧0 とに分けたのか、どのように分けたのかが、
全然わかりません。
cの値を増やしていくと、原点より二次関数上のほうが短くなるのはわかるのですが、
原点との距離と、二次関数上との距離が等しくなる値をどうやったら求められるかなどもわからないです。

どのようにすればよいでしょうか？

No.3 回答者： postro 回答日時： 2006/12/14 00:38

　PQ^2=(y-(2c-1)/2)^2+c-1/4

の最小値を求める。
yの定義域がすべての実数なら、単純に、y=(2c-1)/2のとき最小値はc-1/4である。とやりたいところだが、
この場合、yの定義域はy≧0です。
だから、(2c-1)/2<0　のときにはy=0 で最小値をとり、
(2c-1)/2≧0 のときにはy=(2c-1)/2 で最小値をとります。

No.2 回答者： i_noji 回答日時： 2006/12/14 00:10

PQ^2=(y-(2c-1)/2)^2+c-1/4　　・・・(1)

のグラフを考えてみます
このままだとイメージしにくいのであれば
y=(x-(2c-1)/2)^2+c-1/4　　　・・・(2)
でもいいです
ここで場合わけに出てくる
(2c-1)/2
はグラフの軸にあたる部分です
またy=x^2≧0
つまりy≧0、(2)でいうとx≧0　・・・(3)
です。
軸の位置と変域（(3)の領域）を意識して
軸が変わると最小値がどう変わるか
グラフでみてください

分かりにくいなら
y=(x-2)^2　x≧0　のグラフと
y=(x+2)^2　x≧0　のグラフの
最小値を比べてみれば分かりやすいと思います

No.1 回答者： kishiura 回答日時： 2006/12/13 23:48

理系大学４年です。

PQ^2の、ｘに対しての関数をｘで微分しているのです。
そして、その導関数が０となる点はｃの値によらず決定されますが、
その点付近の導関数の正負はｃの値により違うので場合分けが必要なのです。