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No.1
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1)
長さ3の道を一つも含まないグラフの部分グラフは長さ3の道を一つも含まない。
よって、問題グラフから3頂点とそれに接続する辺を取り出した部分グラフは、
3頂点をもち、長さ3の道を一つも含まない。
そのようなものは、3頂点と2辺からなる直線状のグラフである。
この部分グラフに頂点を添加することを考える。
直線状のグラフの端点に辺とその先の頂点を添加すると
長さ3の道ができてしまうので、添加する辺は中央の頂点にしか接続できない。
できあがるグラフは、
中央の1頂点に他の8頂点が直接接続する星形のグラフである。
2)
「2つの閉路」どうしの関係について説明が無いが、
ともかく何らかの2つの閉路がありさえすれば良いのなら話は単純。
グラフが連結で全体として2つの閉路を持てば、
全ての頂点は2つ以上の閉路に含まれることになる。
7つの頂点を1つの閉路上に配置し、隣接しない1組の2点を辺で結べばよい。
その際、最小の辺数は8である。
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