絶対値の入った一次方程式とグラフ 添付の問題、解答ではグラフを描いて 解いていました。 私はaを場合

絶対値の入った一次方程式とグラフ
添付の問題、解答ではグラフを描いて
解いていました。
私はaを場合わけして解こうとしましたが、
失敗しました。

皆さんならどう解きますか？
理由も含めてご回答下さい。

質問者からの補足コメント

• なお、aの値の場合分けによる解答が現実的(入試において)かどうかも教えて欲しいです

    補足日時：2022/10/26 17:24

No.2 ベストアンサー 回答者： cage64 回答日時： 2022/10/27 16:20

グラフを使って直観に頼った方が簡単ですが、機械的な場合分けでもそれほど大変ではないと思います。

＃直観は不安だけど計算は得意というのなら、むしろこっちの方が速いかも。

(1) a≧5 の時
1-1) x<5の時
絶対値を外すと、2(5-x)-(a-x)+3=0 となり、x=13-a
これがx<5の範囲の解である⇔13-a<5 ⇔ a>8
1-2) 5≦x≦aの時
絶対値を外すと2(x-5)-(a-x)+3=0となるから、解は x=(a+7)/3となる。
これが 5≦x≦aの範囲にある条件は 5≦(a+7)/3≦a だから、簡単にすると a≧8
1-3) a<xの時
同様に、2(x-5)-(x-a)+3=0を解いて x=7-a　となり、これがaより大きい条件は a<7/2 であり、7/2<5だから、この場合は解がない。

以上から、(1)の場合に解が１つだけとなるのは、1-2 であって、1-1でない場合、つまり a=8 の場合だけである。

(2)a<5 の時
2-1) x<aの時
同様に絶対値を外して方程式を解くと　1-1)と同じだから、x=13-a となる。これがaより小さい条件は a>13/2　であるが、a<5 を満たさないので解はない。
2-2) a≦x≦5の時
絶対値を外すと、2(5-x)-(x-a)+3=0 となりこれを解いて　x=(a+13)/3 となる。この解がa以上5以下である条件は a≦(a+13)/3 ≦5 を解いてa≦2　である。
2-3) 5<xの時
1-3)と同様に、絶対値を外した方程式の解は x=7-a だから、これが5より大きい条件は a<2

以上から、(2)の場合に解が１つだけなのは、2-2であって2-3でない場合、つまりa=2の場合のみ。

以上より解は　a=2またはa=8　である。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
２つの解法が使えるように、頑張ります。

お礼日時：2022/10/27 16:46

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/27 05:48

多分、場合分けでも可能と思われますが、大変そうです。

ここは、図からの評価で
　a=2 or 8 のとき、解となる
　2<a<8 のとき、解は無い
　a<2 or a>8 のとき、2根があり、解ではない
と推定し、これに沿って証明します。

まず
　|x-a|=|(x-5)+(5-a)|≦|x-5|+|5-a|
から
　f(x)≧|x-5|-|5-a|+3≧-|5-a|+3=f(5)
つまり、f(5)が最小値となる。

つぎに、
　f'(x)=±2-(±1)
　　　=-2-(±1)<0 (x<5)
　　　=+2-(±1)>0 (x>5)

つまり、f(x)　はx=5で最小値を取り、その両側で狭義の単調
減少または増加となる。すなわち、f(5)が唯一の最小値となる。

したがって、f(5)>0 なら、解は存在せず、f(5)<0 なら、
　lim[x→±∞] f(x)=∞
なので、解は２つ存在し、これも解ではない。

残りは f(5)=0 となるとき、唯一の解をもつ。つまり
　f(5)=-|5-a|+3=0 → 5⁻a=±3 → a=2 or 8

この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかりやすかったです。

お礼日時：2022/10/27 06:42