数学の問題です。 (1)3x+2y≦8を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ (2)3

数学の問題です。

(1)3x+2y≦8を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ
(2)3x+2y≦2008を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ

(1)はわかったのですが、(2)がわかりません。
全体的な流れを教えていただけるとありがたいです。あと、x=2kとx=2k+1とはどのような意味でしょうか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/22 20:45

（１）3x+2y≦8　

3x+2y=8　つまり y = -(3/2)x + 4 のグラフを書いて、x, y 軸を含む第１象限でこのグラフの下（グラフ上を含む）にある「整数の点」が何個あるか数えればよい。
　代数的に解いても、0≦x≦2　なので、これは簡単に解けます。
　x=0 のとき y≦4 - 0 = 4
　x=1 のとき y≦4 - 3/2 → 整数なら 2
　x=2 のとき y≦4 - 3 = 1

　x が奇数のとき、不等式の y の最大値が整数にならないことが分かります。

（２）3x+2y≦2008
　同じく 3x+2y=2008　つまり y = -(3/2)x + 1004 のグラフを書いて、x, y 軸を含む第１象限でこのグラフの下（グラフ上を含む）にある「整数の点」が何個あるか数えればよい。
　ただし、グラフではちょっと大変なので、この場合には代数的に求めることが必要でしょう。上の（１）の結果を見て、戦略を考える必要があります。

　つまり、ｘが偶数のときと奇数のときで、場合を分けて考える必要があるということです。

　x = 2k というのは、「x が偶数のとき」ということです。
　上記の y = -(3/2)x + 1004 によって x に対しての y を求める必要がありますが、k が偶数か奇数かによって、整数となる y が変わるので、これを場合分けしているものです。
　x が偶数なら y = -3k + 1004　で単純に整数 y が決まります。

　x = 2k+1 というのは、「x が奇数のとき」ということです。
　実際に y = -(3/2)x + 1004 に代入すると
　　y = -3k - (1/2) + 1004
となり、これより小さい「整数」は
　　y = -3k + 1003
だということが分かります。

　以上から、x=0～669に対して、偶数の場合と奇数の場合とに分けて y の数を数え、それを足し合わせていけばよいということです。