高校数学の問題です。 aを定数とする。放物線y=x^2+aと関数y=4|x-1|-3のグラフの共有点

高校数学の問題です。

aを定数とする。放物線y=x^2+aと関数y=4|x-1|-3のグラフの共有点の個数を求めよ。

どなたか解いて頂けますか？

No.3 回答者： wotsuma 回答日時： 2022/05/09 12:56

(1)

x≧1のとき
y=4(x-1)-3
y=4x-4-3
y=4x-7

x^2+a=4x-7
x^2-4x=-a-7
(x-2)^2-4=-a-7
(x-2)^2=-a-3

a>-3のとき　0個
a=-3のとき　1個

x=1のとき
(1-2)^2=-a-3
1=-a-3
a=-4

-4≦a<-3のとき　2個

a<-4のとき　1個

(2)
x<1のとき
y=4(-x+1)-3
y=-4x+4-3
y=-4x+1

x^2+a=-4x+1
x^2+4x=-a+1
(x+2)^2-4=-a+1
(x+2)^2=-a+5

a>5のとき　0個
a=5のとき　1個

x=1のとき
(1+2)^2=-a+5
9=-a+5
a=-4

-4<a<5のとき　2個

a≦-4のとき　1個

(1)(2)から
a<-4のとき　2個
a=-4のとき　3個
-4<a<-3のとき　4個
a=-3のとき　3個
-3<a<5のとき　2個
a=5のとき　1個
a>5のとき　0個

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/09 11:14

y=x^2+a

と
y=4|x-1|-3
の
交点を(x,y)とすると

x^2+a=4|x-1|-3
x^2-4|x-1|+3+a=0

x≧1の時
x^2-4(x-1)+3+a=0
x^2-4x+7+a=0
x=2±√(-3-a)

x<1の時
x^2+4(x-1)+3+a=0
x^2+4x-1+a=0
(x+2)^2=5-a
x=-2±√(5-a)
----------------
a<-4の時
(2+√(-3-a),1+4√(-3-a))
(-2-√(5-a),9+4√(5-a))
の2個

a=-4の時
(3,5)
(1,-3)
(-5,21)
の3個

-4<a<-3の時
(2+√(-3-a),1+4√(-3-a))
(2-√(-3-a),1-4√(-3-a))
(-2+√(5-a),9-4√(5-a))
(-2-√(5-a),9+4√(5-a))
の4個

a=-3の時
(2,1)
(-2+2√2,9-8√2)
(-2-2√2,9+8√2)
の3個

-3<a<5の時
(-2+√(5-a),9-4√(5-a))
(-2-√(5-a),9+4√(5-a))
の2個

a=5の時
(-2,9)
の1個

a>5の時共有点無0個

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/09 09:59

2つの関数のグラフが書けますか？

グラフを書けば一目瞭然です。

y = x^2 + a　　　　　①
のグラフは簡単ですね？
ただし、a の値によって、頂点の y 座標がスライドします。

y = 4|x - 1| - 3
は、絶対値があるので、中身の正負で場合分けをして外します
絶対値は
・A>0 のとき |A| = A
・A<0 のとき |A| = -A (>0)
・A=0 のとき |A| = A = -A (=0)
ですから。
（一番下の統合は、上の2つのどちらでも成り立つので、どちらかに含めてしまえばよい）

(a) x - 1 ≧ 0 のとき、つまり 1 ≦ x のとき
　y = 4(x - 1) - 3
　　= 4x - 7　　　　　②

(b) x - 1 < 0 のとき、つまり x < 1 のとき
　y = -4(x - 1) - 3
　　= -4x + 1　　　　③

つまり x=1 で左右対称になるように折れた直線になります。

②③のグラフを書いて、そこに①を上下にスライドさせてみれば
・a が大きいところでは全く交点がない
・①をだんだん下げて来ると（a を小さくする）、①の左側が③に接する
・さらに下げると、①と③が2点で交わる
・さらにず～っと下げると、①は③で1点、もう1点は②と③の交点と交わる
・さらに下げると、①は③で1点、もう1点は②と交わる
　（どこまで下げてもこの状態が続く）
ということが分かります。
上から、共有点の数は
　0 → 1 → 2
になりますね。
そのときの a の値を求めれば、a の範囲と共有点の数の関係が分かります。